1. Рождение математики в Элладе
Появление этой науки в 6 веке до н.э. до сих пор кажется чудом. В течение 20 или 30 предыдущих веков народы Древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии. Но единую математическую науку они не создали, да и не пытались ее создать. Эллинам же это удалось с первой попытки, в течение одного столетия. Что подготовило их к такому подвигу?
На полтораста лет раньше - в середине 8 века до н.э. - эллины пережили культурную революцию. Под влиянием финикийцев они изобрели свой алфавит, включив в него гласные буквы. Тогда же были записаны поэмы Гомера. Они стали первым учебником культуры, доступным каждому эллину - даже неграмотному. Ведь стихи нетрудно выучить наизусть! В ту же эпоху начались Олимпийские игры. На этих "съездах доброй воли" раз в 4 года встречались и дружески общались самые активные и просвещенные граждане из всех городов Эллады. Число таких городов с середины 8 века начало быстро расти, за счет заморской колонизации.
Скудная почва Эллады приводила к перенаселению каждого быстро развивающегося города. Тогда несколько десятков или сотен семей вместе переправлялись за море и селились на берегу - рядом с местными "варварами". У них эллины покупали зерно и различное сырье, в обмен на продукты своего ремесла. Разведав окрестные моря и земли, эллины знакомились с культурой соседних народов, учились у них и сами пытались их просветить. Все это происходило в форме народной самодеятельности, без приказа властей. Жители городской республики - полиса - ежедневно обсуждали на улицах и площадях все волнующие их вопросы: от видов на урожай и настроения окрестных варваров до заморских вестей, привезенных заезжим купцом.
Самые интересные вести приходили из царств Ближнего Востока: из Египта и Ассирии, а после гибели Ассирийской державы - из поделивших ее владения Вавилонии и Мидии. В середине 6 века до н.э. все эти земли попали под власть нового народа - персов, которые установили прочный мир в своей огромной империи. Теперь многие любознательные эллины смогли безопасно путешествовать по землям Персидской державы: одни - с торговыми целями, другие - в надежде приобщиться к мудрости древних египтян и вавилонян.
Дома такой путешественник возбуждал жадное любопытство сограждан. Но не во всем ему верили на слово. Например, он говорил, будто в Египте стоят рукотворные холмы из камня - гробницы древних царей, высотою в 200 или 300 локтей каждая. Неужели он сам измерил их высоту? Как он это сделал? Пусть докажет, что его слова - правда!
И еще: он сказал, что мудрые египтяне умеют предсказать срок будущего затмения Луны или Солнца. Пусть объяснит, как они это делают! И когда мы увидим очередное затмение в нашем городе?
Видимо, первым греком, который научился убедительно отвечать на такие вопросы, стал Фалес из города Милета; он жил между 625 и 547 годами до н.э. Известно, что в 585 году до н.э. Фалес впервые предсказал эллинам солнечное затмение. Позднее эллины признали Фалеса одним из семи великих мудрецов основателей греческой культуры и науки.
Сделал ли Фалес какие-то новые открытия в математике? Может быть, и нет. Не исключено, что все приписываемые ему теоремы были прежде известны, как факты, египтянам и вавилонянам. Но заслуга Фалеса в том, что он превратил эти сведения и рецепты в доказанные теоремы. Фалес приделал к научным фактам "корни", ведущие к простейшим утверждениям - тем, которые доступны интуиции обычного человека. Слушая рассуждения Фалеса, любой гражданин Милета мог прийти к мысли, что не обязательно принимать на веру всю древнюю мудрость. Каждое открытие мудрецов можно проверить и повторить, следуя несложным правилам умозаключений. Сами эти правила знакомы любому горожанину по опыту политических споров в народном собрании.
Таким образом, Фалес превратил древнюю и священную ученость в предмет сомнений и доказательных споров. Искушенные в спортивных состязаниях, эллины не знали до той поры сложных интеллектуальных игр, вроде шахмат. С легкой руки Фалеса, геометрия стала первой такой игрой. Вскоре она сделалась в Элладе почетным и увлекательным занятием, как бы национальным видом спорта - наравне с политикой. В геометрии появились "гроссмейстеры", которые превзошли достижения Фалеса и начали открывать такие математические истины, которые не снились древним мудрецам.
Первым в ряду этих героев оказался Пифагор с острова Самос: он жил примерно с 580 по 500 год до н.э. Около 540 года до н.э. Пифагор основал в греческом городе Кротоне на побережье Южной Италии первый "математический клуб", больше похожий на тайное религиозное братство.
2. Первая научная школа Эллады
Стоя у истока греческой науки, Пифагор был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. И цель он себе поставил богатырскую: разобраться в строении Вселенной и человеческого общества (от движения звезд до политической борьбы), а на основе такого знания исправить все, что происходит в мире не наилучшим образом. Решить вторую часть этой задачи Пифагор не сумел. На старости лет он погиб в городской усобице, пытаясь установить в Кротоне "республику ученых". Но в постижении Вселенной через математику Пифагор сделал огромный шаг вперед. Он первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с ИДЕАЛЬНЫМИ объектами. Например, прямая линия - это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. То же относится к геометрической плоскости и поверхности воды в спокойном озере, или к числу 5 и пяти пальцам на руке. Идеальные объекты (будь то числа или фигуры) встречаются только в математическом рассуждениии - зато там без них не обойтись. Только для них верны строгие научные выводы! Поэтому математика является как бы "вторым зрением" человека: она открывает разуму идеальные объекты, тогда как обычные чувства говорят нам о свойствах природных тел. Но если так, то какое из двух зрений важнее? Пифагор не сомневался на этот счет. Конечно, идеальные объекты важнее природных тел, поскольку о них мы знаем все - и знаем наверняка. Несовершенные природные тела являются лишь грубоватым подобием идеальных математических сущностей. Но где можно увидеть эти сущности в чистом виде?
Конечно, на небе! Ведь видно, что звезды и планеты - это идеальные точки, а Луна и Солнце - идеальные шары. Земля, видимо, тоже шар - но далекий от идеального. А все звезды расположены на поверхности огромной прозрачной сферы, которая равномерно вращается вокруг Земли. Солнце, Луна и пять планет движутся по небу иначе - значит, они не прикреплены к звездной сфере, а лежат на особых сферах. Если бы еще удалось понять связи между восемью небесными сферами: измерить их радиусы, или хотя бы отношения этих радиусов...
Такова первая научная модель мира, предложенная Пифагором. Согласно ей, все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений - а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. Короче говоря: числа правят миром через свойства геометрических фигур! Но если так, то любые свойства чисел приобретают особое (даже мистическое) значение. Есть числа четные - а есть нечетные; есть простые, и есть составные. И еще есть дроби - то есть, отношения натуральных чисел; их Пифагор из осторожности называл не числами, а "величинами". О том, что возможны даже иррациональные числа, Пифагор долгое время не подозревал...
Конечно, столь замечательную модель надо проверить на практике. Пифагор занимался этим делом всю жизнь. Начал он с большой удачи: обнаружил связь между высотой звука и длиной того инструмента (флейты, или струны), который издает звук. Оказалось, что благозвучие (симфония) возникает, когда длины разных струн относятся между собою, как близкие целые числа: 2/1, 3/2, 4/3 и так далее.
Из этого факта Пифагор сделал смелый вывод: весь мир упорядочен с помощью дробей! Например, окружность имеет длину, в 22/7 раза превышающую ее диаметр. Правда, не ясно, как это доказать... Зато ясно, как вычислить отношение длины диагонали квадрата или куба к длине ребра этой фигуры. Это можно сделать на основе знаменитой теоремы Пифагора!
Согласно ей, сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Пифагор проделал необходимые вычисления и получил удивительный результат: отношение диагонали квадрата к его стороне не может быть равно никакой дроби!
Пифагор был потрясен. Значит, даже среди идеальных тел геометрии не господствует полная симфония! Этот факт нужно скрыть от невежд до той поры, когда знатоки разберутся до конца в гармонии математического мира! Так и было сделано. Поэтому учение Пифагора не отразилось в какой-либо книге, а передавалось из уст в уста - со строгим запретом откровенничать с чужаками.
После смерти Пифагора союз его учеников распался, и первая научная школа Эллады перестала существовать. Подойдя вплотную к открытию иррациональных чисел, пифагорейцы не сумели сделать последний шаг. Они также не успели создать стереометрию - геометрию фигур в пространстве, среди которых особенно выделяются правильные многогранники. Сколько их в природе? Куб, тетраэдр и октаэдр были давно известны; пифагорейцы добавили к ним додекаэдр, но икосаэдр не заметили. А без стереометрии не получается удобная астрономия! Создать все это сумели только ученые из Афинской школы.
3. Афинское содружество ученых: школа Платона
В Афинах с 511 года до н.э. процветала демократическая республика. Здесь не было никаких секретов, обсуждению подвергалось все: от сообщений о том, что с неба выпал железный дождь, до преданий о том, как финикийцы за три года проплыли вокруг Африки и вернулись в Средиземное море мимо Геркулесовых столпов (так эллины называли горы по берегам пролива Гибралтар). Высочайший накал культурной жизни и научных споров привлекал в Афины самых талантливых ученых Эллады. Среди них был Анаксагор из Клазомен - последний питомец научной школы Милета. Он жил примерно в 500-428 годах до н.э. и около 460 года до н.э. переехал в Афины, где стал другом прославленного политика Перикла.
По складу ума Анаксагор был противоположен Пифагору: не математик, а физик, предпочитающий измерения и расчеты строгим логическим доказательствам. Он не верил ни в каких богов, кроме (может быть) Мирового Разума, а все небесные тела считал подобными Земле (то есть - не идеальными). Например, Солнце - это раскаленный камень, а метеориты - осколки Солнца, упавшие на Землю. Луна же - холодный шар, освещаемый Солнцем и равный ему: это заметно во время солнечных затмений. А как можно вычислить диаметр Солнца или Луны?
Очень просто: нужно спросить купцов, прибывающих в Афины вскоре после солнечного затмения! В каких городах Эллады видели полное затмение, а в каких - частичное? Расстояния между городами нам известны; по ним мы рассчитаем размер лунной тени на Земле, равный диаметру самой Луны или Солнца! Сказано - сделано. На основе опросов и расчетов Анаксагор заключил, что диаметр Луны или Солнца примерно равен диаметру полуострова Пелопоннес, где расположена Спарта. Так впервые стереометрия была успешно применена в астрономии и стала самостоятельной наукой - хотя не столь полной и строгой, как планиметрия. Например, связь между площадью круга и объемом шара оставалась не известна еще 200 лет - пока ее не выяснил Архимед.
Мы знаем теперь, что Анаксагор ошибся в оценке диаметра Луны примерно в 5 раз, а в оценке размера Солнца - еще больше, поскольку Солнце дальше от Земли, чем Луна. Однако математическая основа метода Анаксагора безупречна - если учесть зону частичного (а не только полного) солнечного затмения. Но современников Анаксагора волновали иные проблемы. Астроном подвергся осуждению благочестивых афинских граждан. Как он смеет измерять размеры бога Гелиоса (Солнца) и богини Гекаты (Луны)? Это - кощунство и богохульство! Астронома привлекли к суду, и даже заступничество Перикла не помогло; Анаксагор предпочел покинуть Афины. Вскоре после его изгнания в Афинах родился мальчик Аристокл; позднее он стал учеником Сократа и получил прозвище Платон - "Широкоплечий".
Платон жил в 427-347 годах до н.э. и характером напоминал Пифагора. Он тоже хотел постичь весь мир и исправить в нем все, что неправильно. Но через сто лет после Пифагора всем было ясно: в науке не надо секретничать! В 387 году до н.э. Платон основал Академию - первый общедоступный университет Европы, который действовал более 8 веков - до 529 года. Свое название эта школа получила от имени древнего героя Академа. Ему была посвящена роща, в которой прогуливались ученики Платона, ведя бесконечные споры обо всем на свете. Требование к участникам споров было одно: хорошее знание геометрии. Кто ее освоил - тот может постичь все, что пожелает, ибо геометрия правит всем миром! При этом сам Платон, кажется, не сделал крупных открытий в математике: основные теоремы геометрии были уже всем известны, а споры кипели вокруг их осмысления. Например: есть ли предел дробления природных тел? Демокрит из Абдеры считает, что существуют мелкие частицы - атомы, которые нельзя разделить пополам. Напротив - Зенон из Элеи уверен, что каждый отрезок можно неограниченно делить пополам, не достигая неделимой точки. Кто из них прав? Может быть, правы оба - но в разных областях? Допустим, что Зенон прав относительно идеальных математических сущностей, а Демокрит прав относительно природных тел. В таком случае получают разумное решение предложенные Зеноном парадоксы - вроде Ахиллеса и черепахи, которую быстроногий герой никогда не догонит.
Но если прав Демокрит, то геометрам нужно подумать о форме загадочных атомов. Это, наверное, самые совершеннвые тела - вроде правильных многогранников, которых в природе всего 5 (как было доказано). Интересно, атомы каких веществ имеют форму тетраэдра, куба и октаэдра? Может быть, такова форма атомов воздуха, воды и огня?
Если же прав Зенон, то путем последовательного деления пополам можно сколь угодно точно установить длину любого отрезка - даже диагонали квадрата, которая несоизмерима с его стороной. Интересно: можно ли таким путем узнать точную длину окружности и площадь круга?
Эта задача не покорилась ученикам Платона. Они не смогли построить циркулем и линейкой ни отрезок с длиною, равной длине данной окружности, ни квадрат с площадью, равной площади данного квадрата. Так проблема "квадратуры круга" вошла в число классических задач древности - наряду с удвоением куба и трисекцией угла.
В середине 4 века до н.э. наследники Платона поднялись на вершину классической геометрии - но в то же время достигли пределов этой науки. После этого школа Платона разделилась. Одни питомцы Академии принялись наводить порядок в уже освоенном мире планиметрии и стереометрии; другие старались выйти за его пределы с помощью новых методов работы.
Самым упрямым и непослушным из учеников Платона был Аристотель из Стагиры. Он жил с 384 по 322 год до н.э., и после смерти учителя основал в Афинах свою школу - Ликей. Позднее Аристотель уехал в Македонию, где стал учителем царевича Александра - будущего завоевателя Эллады и восточных стран. Аристотель считал, что главные открытия в геометрии уже сделаны. Пора переносить ее методы в другие науки: физику и зоологию, ботанику и политику. Но самое важное орудие геометрии - это логический метод рассуждений, который ведет к верным выводам из любых верных предпосылок. Этот метод Аристотель изложил в книге "Органон"; сейчас ее называют началом математической логики.
Впрочем, для обоснования физической науки одной логики мало; нужны эксперименты, измерения и расчеты вроде тех, которые проводил Анаксагор. Ставить опыты Аристотель не любил. Он предпочитал угадывать истину интуитивно - и в итоге нередко заблуждался, а поправить его было некому. Поэтому греческая физика состояла, в основном, из гипотез: иногда гениальных, но порою грубо ошибочных. Доказанных теорем в этой науке не было.
В противоположность Аристотелю, Евдокс из Книда не выходил за рамки точных наук: математики и астрономии. Зато в этой области он превзошел Пифагора, создав первую теорию иррациональных чисел.
Основная идея Евкдокса проста: назовем "числом" (или "величиной") длину любого отрезка! В таком случае все числа можно изобразить точками на луче, ведущем из центра в бесконечность. Одна из этих точек особенно замечательна: это правый конец отрезка длины 1. Другие замечательные точки - концы отрезков, соизмеримых с единичным отрезком. Их мы называем рациональными числами.
Но, согласно Пифагору, есть отрезки, не соизмеримые с единичным отрезком. Их длины (которые мы называем иррациональными числами) тоже можно сравнивать между собой. Например, соизмерима ли диагональ единичного куба с диагональю единичного квадрата? Оказывается, нет - потому, что их отношение (равное ..6) - иррациональное число. Таким образом, иррациональные числа распадаются на классы чисел, соизмеримых друг с другом. Один из таких классов порожден числом ..2, другой - числом ..3, третий - числом ..6. А что дальше? Можно доказать, что для любого простого числа Р число ..Р иррационально; первым это сделал ровесник и однокашник Евдокса - афинянин Тэетет. Несколько позже другой афинянин - Евклид - доказал, что множество простых чисел бесконечно. Значит, множество всех чисел (или всех отрезков) похоже на бесконечный архипелаг. Лишь один его остров составлен из рациональных чисел! Так мал оказался "симфоничный" мир Пифагора в рамках огромной математической Вселенной...
Большинство геометров Эллады испугались нежданной бесконечности и не стали изучать ее свойства. Только Тэетет заметил, что в множестве иррациональных островов есть свой порядок. До одних островов можно добраться из рациональной гавани с помощью линейки и циркуля - за один ход, или за несколько ходов. До других островов так добраться нельзя: по этой причине некоторые задачи на построение неразрешимы. Например, построить биссектрису угла совсем легко; построить правильный пятиугольник гораздо сложнее, а разделить произвольный угол на три равные части не удается. Мы знаем сейчас причину такой разницы: первые две задачи сводятся к решению квадратных уравнений, а трисекция угла требует решения кубического уравнения. Но эллины не знали таких понятий, как многочлен или алгебраическое уравнение. Они не владели даже позиционной системой счисления. Без такого аппарата греческая арифметика (в отличие от геометрии) не имела опоры в наглядном воображении ученых, и не могла помочь геометрии при решении ее самых трудных задач.
Нам сейчас кажется странным, что Евдокс не развил теорию чисел в более простом направлении. Ведь он фактически открыл числовой луч. Почему он не открыл числовую прямую, введя нуль и отрицательные числа? Видимо, Евдокс попал в плен к придуманному им самим определению: числа суть длины отрезков. Что такое отрезок длины (-2)? Чем он отличается от отрезка длины 2? На такой вопрос Евдоксу было бы нечего ответить. Другое дело, если бы отрицательные числа уже были в ходу у математиков Эллады. Например, такое число может обозначать долг купца - если положительное число изображает его имущество. Тогда имущество нищего придется изобразить нулем! Но увы - это "купеческое" представление о числах сложилось где-то на Ближнем Востоке через 5-6 веков после открытий Евдокса...
4. Математическая Вселенная Евклида
По сравнению с Платоном и его современниками, следующему поколению математиков пришлось жить в ином мире. В 338 году до н.э. царь Филипп Македонский разгромил ополчение греческих полисов; кончилась эпоха демократии, началась имперская эпоха. Сын Филиппа - Алекандр завоевал весь Ближний Восток, вплоть до Индии. Наследники Александра стремились удержать завоеванное не только силой меча, но и внедрением греческой культуры в умы новых подданных. Обученные Аристотелем, эти новые цари - Птолемей в Египте, Селевк в Сирии и Иране, Антигон в Малой Азии - считали греческую науку важнейшей частью эллинской культуры. Поэтому в новых греческих столицах на Востоке сразу появились общедоступные библиотеки, а при них - первые "научно-исследовательские институты". Самым известным учреждением этого рода стал Музей ("храм всех муз") в Александрии Египетской. Здесь собрались сильнейшие ученые грекоязычного мира, и начался новый расцвет науки. Самое заметное различие в положении науки "при царях" и "при демократии" - в том, что достижения ученых перестали волновать столичную толпу. Наука (как и политика) сделалась "спортом для избранных", хотя школьников продолжали учить геометрии и арифметике. Но большая часть учителей теперь не занималась научным творчеством; поэтому понадобились хорошие учебники. С этой целью Аристотель написал "Физику", "Зоологию" и "Органон", а Евклид - знаменитую книгу "Начала", первую и лучшую энциклопедию элементарной математики.
Если бы Евклид захотел только создать хороший школьный учебник - он легко достиг бы этой цели. Но через сто лет его имя забылось бы, заслоненное именами новых авторов. Мы знаем, что получилось иначе: книга Евклида прожила 20 веков, прежде чем у нее появились достойные соперницы. Дело в том, что Евклид сумел навести порядок во всем мире идеальных математических объектов - подобно тому, как Пифагор наводил порядок в реальном мире с помощью идеальных понятий. И пока "зоопарк" этих понятий не расширился более чем вдвое по сравнению с эпохой Евклида - не было нужды в иных книгах на ту же тему. Только в конце 18 века Эйлер добавил к "Началам" Евклида свои "Основы" - первую энциклопедию новой алгебры и математического анализа.
Мы очень многое знаем об Эйлере; почему мы так мало знаем о личности Евклида? Он родился в Афинах, учился в Академии. В начале 3 века до н.э. переехал в Александрию и там работал в Музее. Наверняка у него было много учеников. Но никто не оставил об учителе таких сочных рассказов, какие сохранились о Платоне или Аристотеле. Известно лишь, что на вопрос царя Птолемея: нельзя ли попроще объяснить содержание геометрии тем, кто не силен в этой науке? - Евклид резко ответил: "В геометрии нет царской дороги!"
Рискованно делать глубокие выводы из одной фразы; но ясно, что Аристотель никогда не говорил таких слов царю Филиппу Македонскому. Возможно, Евклид был демократ по убеждению и не одобрял того факта, что геометрия стала "придворной" наукой? Может быть, не случайно он употребил слова "царская дорога"? Так называли систему отличных дорог, проложенных в Персидской империи. Двигаясь по ним, небольшая армия македонцев за 4 года покорила весь Ближний Восток. Покорила - но не освоила; науку же нужно осваивать, а не покорять! Таков, видимо, был смысл выговора, сделанного греческим ученым египетскому царю. А ведь Птолемея в Египте считали живым богом! Вероятно, Евклида царь просто терпел - и то недолго, а потом его подвергли забвению. Но книга осталась жить, и число ее читателей превысило число подданных царя Птолемея.
Как же выглядит в трактате Евклида математическая вселенная, составленная из фигур и чисел? С фигурами работать проще: каждый видел их на чертежах и может вообразить мысленно. Поэтому Евклид не дает строгих определений основных объектов геометрии: точки, линии, прямой, поверхности, плоскости. Вместо этого даны словесные описания важнейших свойств этих фигур. Например: "Точка есть то, что не имеет частей"; "Линия - это длина без ширины"; "Окружность - это кривая, которая около каждой точки устроена одинаково".
Самые общие свойства фигур, которые многократно используются в рассуждениях и не выводятся из более глубоких фактов - эти свойства Евклид назвал аксиомами. Например: "Все прямые углы равны между собой", или "Целое больше части".
Кроме аксиом, Евклид ввел ПОСТУЛАТЫ: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций. Например: "Через две точки проходит лишь одна прямая", или "Через точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую". Это последнее утверждение называют пятым постулатом Евклида.
Конечно, представить всю геометрию в виде идеального здания из определений, аксиом, постулатов и теорем Евклид не сумел. Ведь каждое необходимое утверждение кому-то покажется скучной мелочью, а каждое интересное утверждение у кого-нибудь вызовет возражение. И это хорошо: в науке важнее всего те утверждения, которые сами интересны и не очевидны, и их отрицания обладают тем же свойством. Таков оказался пятый постулат Евклида о параллельных прямых на плоскости.
Он имеет два возможных отрицания. Во-первых, можно предположить, что через точку вне прямой не проходит НИ ОДНА прямая, не пересекающая данную прямую; то есть, что параллельных прямых на плоскости вовсе нет! Во-вторых, можно предположить, что таких прямых через одну точку проходит НЕСКОЛЬКО; может быть, их бесконечно много. Евклид не рассматривал такие возможности. Он старался сжато и полно описать единственно возможный ("плоский") геометрический мир. Только в 19 веке другие математики - Гаусс и Лобачевский, Больяи и Риман - задумались о возможном существовании многих разных геометрических миров. Тогда выяснилось, что новые миры отличаются от старого евклидова мира всего одной-двумя аксиомами. Достаточно заменить пятый постулат Евклида одним из его возможных отрицаний - и мы попадаем в иной мир, носящий имя Лобачевского или Римана.
Но Евклида больше беспокоило другое. Какие факты геометрии нужно вкючить в создаваемую энциклопедию, а какими придется пренебречь, поскольку они не совсем ясны? Например, в "Началах" используются всего две разные линии - прямая и окружность. Но в эпоху Евклида уже были известны эллипс, парабола и гипербола. Сам Евклид изучал эти кривые, даже написал о них особую книгу (которая не сохранилась - но послужила основой для сходной книги Аполлония). Почему он ни словом не упомянул о новых кривых в "Началах"?
Видимо, потому, что Евклид и его современники не знали об этих линиях всего, что им хотелось знать. Например, как вычислить площадь, ограниченную эллипсом или параболой? Как провести касательную к эллипсу или гиперболе в данной точке? Это сумел сделать только Архимед - через полвека после Евклида. Автор "Начал" этого не умел - и предпочел умолчать о сложных кривых, чтобы не смущать умы новичков-геометров необоснованными рассуждениями. Видимо, Евклид был прав; так же поступают авторы современных учебников или той энциклопедии, которую вы читаете.
Иначе получилось с арифметикой: здесь Евклид сам был перевопроходцем. Но беда в том, что у эллинов не было удачной системы обозначений даже для натуральных чисел. Вместо цифр греки пользовались буквами; позиционной системы для записи больших чисел они не знали. Поэтому даже обычная (для нас) таблица умножения имела в Элладе вид довольно толстого свитка. А работать с числами, когда они изображены буквами, очень не просто! Этим занимается особая наука - алгебра; современники Евклида о ней не подозревали.
В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их множество бесконечно. Но правда ли, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел единственным способом? Доказать это Евклид не сумел - хотя располагал всеми необходимыми для этого средствами.
Только через 5 веков после Евклида александриец Диофант заполнил этот пробел строгим рассуждением. Он уже владел понятием отрицательного числа и "играл в арифметику" так же уверенно, как семью веками раньше Пифагор "играл в геометрию", работая с плоскими фигурами. Но создать богатую теорию чисел и уравнений эллины не успели вплоть до гибели Римской империи и гибели античной цивилизации в бурях 4-5 веков.
5. Наследники Евклида: Эратосфен и Архимед
Напротив, в привычной геометрии эллины успели продвинуться заметно дальше Евклида. Третий век до н.э. украшен славными именами Аристарха и Архимеда, Эратосфена и Аполлония. Все они были скорее универсалы, чем "чистые" математики. Аристарха считают астрономом, поскольку он первый обосновал гипотезу о том, что все планеты обращаются вокруг Солнца. Но рассуждение Аристарха - это чистая стереометрия, в духе Анаксагора.
Разница в том, что Аристарх изначально предположил: Солнце может иметь иной размер, чем Луна! Так в старой задаче появилась новая неизвестная величина. Чтобы справиться с нею, нужно добавить еще одно уравнение, а для этого - изобрести новый метод наблюдения небес. Аристарх сделал это, рассуждая просто и красиво.
Земля, Луна и Солнце - это три шара; их центры лежат в одной плоскости. Когда мы видим ровно половину лунного диска, освещенную Солнцем - луч нашего зрения образует прямой угол с осью, соединяющей центры Солнца и Луны. Чтобы узнать отношение сторон в этом огромном прямоугольном треугольнике, надо измерить в нем хоть один угол. Мы можем это сделать, наблюдая Солнце и Луну одновременно - на рассвете, или на закате. Выполнив эти наблюдения и расчеты, Аристарх сделал вывод: лунный диаметр втрое меньше земного, а диаметр Солнца в семь раз больше, чем диаметр Земли.
Эти оценки так же грубы, как расчеты Анаксагора. Но верен главный вывод Аристарха: Солнце больше Земли, поэтому Земля вращается вокруг Солнца! Так астрономия получила, наконец, от геометрии верную модель Солнечной системы. Увы - модель Аристарха оказалась слишком груба для астрономических предсказаний. Поэтому большинство звездочетов не верили ей, а пользовались более могучей вычислительной техникой Гиппарха.
Большее доверие вызывал у своих современников ученик Аристарха - Эратосфен. Он жил в 276-194 годах до н.э. и многие годы возглавлял Александрийский Музей. Ученики дали ему прозвище "Бета" - по имени второй буквы алфавита, поскольку Эратосфен был "вторым специалистом" в очень многих областях. "Альфой" в математике был его лучший друг и ровесник - Архимед из Сиракуз (280-212 годы до н.э.)
В арифметике Эратосфен стал вторым гроссмейстером - после Евклида. Он составил первую таблицу простых чисел ("решето Эратосфена") и заметил, что многие простые числа группируются в пары близнецов: таковы 11 и 13, 29 и 31, 41 и 43. Евклид доказал, что множество всех простых чисел бесконечно. Верно ли то же самое для чисел-близнецов? Эта задача не покорилась Эратосфену. Знать бы ему и его насмешливым питомцам, что она не будет решена даже через 22 столетия! В наши дни "проблема близнецов" остается единственной не решенной задачей, которая досталась нам от Античности. Справятся ли с нею математики 21 века?
В стереометрии (то есть, в математической астрономии и географии) Эратосфен был более удачлив. Он составил карту неба с 675 звездами, вычислив их координаты в градусах (Этот способ численного хранения геометрической информации изобрел Евдокс). Далее последовала карта известных Эратосфену областей Земли: от Британии до Цейлона, от Балтики и Каспия до Эфиопии. Оставалось узнать размер земного шара и его положение по отношению к Солнцу - то есть, угол наклона земной оси к той плоскости, в которой движутся Земля и Солнце. То и другое Эратосфен сумел рассчитать на основе несложных наблюдений и простых картинок. Например, для определения радиуса Земли оказалось достаточно узнать расстояние от Александрии до Сиены (Асуана) и измерить высоту Солнца в полдень одновременно в этих двух городах (которые они лежат на одном меридиане).
Но мало кто из эллинов поверил этому расчету. Ведь получалось, что вся известная грекам Ойкумена (населенная часть Земли) составляет меньше одной сотой доли от поверхности земного шара. "Не может быть, чтобы мы так мало знали!" - таков был единодушный приговор просвещенных жителей Александрии. Что поделать! Только ученые (и то не все и не всегда) смеют догадываться о том, как мал объем их знаний - даже вместе с догадками...
Успешно проверив географию с помощью геометрии, Эратосфен решил проверить историю с помощью арифметики. Он знал, что от эпохи Пифагора и Фалеса его отделяют примерно 300 лет. Но какой срок отделяет Пифагора от Гомера, или от героев Троянской войны? Что творилось в те далекие времена в Египте? Сколько веков простояли до той поры великие пирамиды? Эратосфен был уверен, что все природные факты можно упорядочить с помощью здравого смысла и строгой математики. В датировке Троянской войны он ошибся менее чем на сто лет! Так что были основания для веры во всемогущество точных наук у ученых Александрийской эпохи...
Наибольшее основание для такой уверенности имел Архимед из Сиракуз - величайший ученый в истории Эллады и во всей Античности. По интересам он был скорее физик (как Анаксагор или Аристарх), но по методам работы - универсальный геометр и начинающий алгебраист. Юность он провел в Александрии, учась у Аристарха и Конона - ученика Евклида. Там он подружился с Эратосфеном. Всю жизнь друзья переписывались, причем Эратосфен представлял собою весь коллектив Александрийского Музея. Архимед же один стоил целой академии наук.
Гения в науке можно распознать по тому, как быстро он осваивает достижения предшественников и как неудержимо бросается вперед с этого стартового рубежа. Для Архимеда стартовыми опорами стали Евклид и Евдокс. Высшим достижением Евдокса была геометрическая теория чисел, которая привела к построению числового луча из точек. Высшее достижение Евклида - это вычисление объема пирамиды методом "исчерпания", когда фигура разбивается на тонкие ломтики-призмы, а их объемы суммируются с помощью арифметики.
Сопоставив эти две теории, Архимед понял, что любую плоскую или пространственную фигуру можно разбить на мельчайшие области-песчинки (как Евдокс разбил на точки луч), а потом суммировать площади или объемы песчинок, как Евклид суммировал объемы ломтиков пирамиды. При этом арифметика и геометрия работают, как две руки - передавая задачу из ладони в ладонь, пока она не будет решена. Конечно, это трудное ремесло - даже два разных ремесла; но Архимеду то и другое было по плечу.
Несмотря на неудобную запись чисел, Архимед уверенно суммировал последовательности натуральных чисел, или их квадратов, или кубов. Используя эти суммы и не зная таких понятий "из будущего", как многочлен и интеграл, Архимед, по сути дела, интегрировал многчлены - и ни разу не ошибся в этой работе! Сначала он вычислил площадь фигуры, ограниченной отрезками параболы и прямой. Затем были найдены объемы тел, полученных при вращении этой фигуры вокруг разных осей; по этим данным Архимед нашел центр тяжести плоской фигуры. Сейчас такие задачи решают студенты-математики, сдающие зачет на первом курсе; но сделать это впервые в истории было гораздо трудней!
Покорив первые вершины в неведомом хребте Математического Анализа, Архимед пожелал новых подвигов. Его увлекла главная проблема астрономии - движение планет вокруг Солнца. Архимед был уверен: существует простое описание этого движения, и найти его можно тем же "методом песчинок"! Конечно, понадобятся точные измерения положений планет; придется очень много вычислять; и, наверное, полезны будут механические модели Солнечной системы...
Пройти этот путь до конца Архимед не сумел. Великая проблема движения планет была решена только 18 веков спустя. Ради этого результата были потрачены жизни трех замечательных ученых: астронома Браге, вычислителя Непира и математика Кеплера. В своей работе они использовали алгебраический аппарат, изобретенный учеными итальянцами - а также числовые координаты на плоскости, введенные Декартом. Без этих новых понятий (не говоря уже о позиционной системе записи чисел) "метод песчинок" не обладал нужной мощностью; с ними он превратился в могучий Математический Анализ. Архимед предвидел это будущее - но не мог ни достичь его одним прыжком, ни убедить своих коллег-современников присоединиться к его геройскому штурму.
В 212 году до н.э. гордый консул Метелл, взяв штурмом Сиракузы, доставил в Рим небывалый трофей: металлическую модель Солнечной системы из подвижных сфер и окружностей, изготовленную самим Архимедом. Тот экспериментировал с нею, когда нехватало прямых наблюдений над звездами и планетами. В наши дни такой прибор называют "механическим аналоговым компьютером". Римляне с изумлением глядели на чудесную игрушку, вертели ее так и сяк... Как это похоже на современного ребенка, который играет за экраном компьютера, не подозревая о том, на что способна эта машина!
6. Закат греческой математики
Во 2 веке до н.э. расцвет греческой науки прекратился. Это было неизбежно: толпу на улицах имперских столиц теперь волновали совсем иные проблемы, чем квадратура круга или движение Марса среди звезд. Математика стала игрой для избранных, и приток талантливой молодежи в ряды ученых сократился. Поэтому уменьшилось число крупных астрономов и геометров, живущих одновременно и побуждающих друг друга к новым открытиям. Теперь юноши постигали науку по книгам, а не по лекциям или письмам действубющих исследователей. Эти книги годами или десятилетиями пылились в библиотеках в ожидании достойного читателя. Так исчезло могучее ученое сообщество Эллады; осталась редкая россыпь гениев, не способных жить без научного творчества и способных заниматься им в одиночку.
Самый яркий представитель этого поколения - Гиппарх из Никеи - жил между 190 и 120 годами до н.э. В юности он побывал в Александрии - но не встретил там великих ученых и поселился на острове Родос, построив там астрономическую обсерваторию. Через полвека после смерти Архимеда Гиппарх принял его дело в свои руки. Но подход Гиппарха к математике был несколько иным. Он не придавал большого значения геометрическим построениям и доказательствам, а старался по возможности заменить их расчетами. Так Гиппарх заложил основы алгебры и алгебраической (то есть, вычислительной) астрономии. Это было за 1000 лет до появления слова "алгебра" и за 700 лет до изобретения позиционной записи чисел.
Начал Гиппарх с составления новой карты звездного неба. Используя угловые координаты звезд (введенные Евдоксом), Гиппарх сравнил свою карту с теми, которые были составлены в Афинах и Александрии на два века раньше. Оказалось, что за это время все звезды сдвинулись в одну сторону на один и тот же малый угол. Значит, звездное небо обращается вокруг Земли не равномерно - либо сама Земля вращается вокруг своей оси не равномерно, а покачиваясь, подобно волчку! Итак, сложное движение звезд разлагается в сумму двух равномерных вращений по окружности. Может быть, и планеты движутся так же - но еще сложнее? Попробуем разложить их наблюдаемое движение среди звезд в сумму нескольких равномерных вращений с разными центрами!
Гиппарх был великий вычислитель: он попробовал это сделать, и у него получилось. Так в науке появилась модель эпициклов. Согласно ей, каждая планета укреплена на некой сфере, которая катится по другой сфере, та - по третьей... и так далее, а центр последней сферы равномерно вращается вокруг Земли. Например, для Венеры и Меркурия хватает одного эпицикла: они обращаются вокруг Солнца, а вместе с ним вокруг Земли. Но для Марса, Юпитера и Сатурна требуется несколько промежуточных эпициклов: их центры не отмечены на небе какими-либо яркими точками...
С точки зрения современной физики, эта модель абсолютно неверна. Ведь она не учитывает разницу в размерах и массах небесных тел! Например, Солнце больше Земли - это выяснил еще Аристарх. Поэтому не оно обращается вокруг Земли, а наоборот! Как мог Гиппарх не учитывать эти факты, и как могла его неверная модель верно предсказывать наблюдаемое движение планет?
Ответ на второй вопрос математики получили лишь в начале 19 века - когда Шарль Фурье разложил любую периодическую функцию в ряд Фурье из синусов и косинусов. Оказалось, что Гиппарх делал то же самое: он разлагал периодическое движение планет в сумму равномерных круговых движений. Но Гиппарх довольствовался конечным набором слагаемых, обеспечивающим достаточную точность расчетов и предсказаний.
Верна ли гипотеза об эпициклах? Этот вопрос Гиппарху, видимо, в голову не приходил. Раз она дает верные предсказания - значит, она верна! Возразить против такого рассуждения смог бы только Ньютон, вооруженный законом всемирного тяготения и другими аксиомами физики. Но в античном мире этих аксиом никто не знал...
Оценки размеров Солнца и Луны, полученные Аристархом, также не убеждали Гиппарха. Но проверить их стоило - и Гиппарх занялся этим, используя простые геометрические соображения. Эратосфен вычислил диаметр Земли. Находясь на ее поверхности и вращаясь вместе с нею, астроном в течение ночи сдвигается на расстояние, близкое к земному диаметру. Из-за этого смещения астроному кажется, что близкая к нему Луна сдвигается на фоне далеких звезд. При этом одни звезды (заслоненные "вечерней" Луной) становятся видимы ближе к утру, а другие - наоборот. Имея карту неба с точными координатами около 1000 звезд, Гиппарх сумел измерить кажущийся сдвиг Луны за ночь, а вместе с ним - и отношение расстояния до Луны к земному диаметру.
Оно равно 30: таков был первый успех вычислительной астрономии в измерении космических расстояний. Следующий крупный успех - измерение расстояний до планет - пришел к астрономам лишь в 17 веке, после появления телескопов и точных маятниковых часов. А для будущей алгебры Гиппарх оставил другое ценное наследство: первые таблицы длин хорд, стягивающих дуги данной угловой меры. Сейчас мы называем их таблицами синусов; но это слово появилось на много веков позже.
Итак, Гиппарх первый подошел к созданию алгебры и тригонометрии. Но основателем алгебры с большей справедливостью можно считать Диофанта из Александрии: он первый начал составлять и решать алгебраические уравнения. Было это в 3 веке н.э. - когда Римская империя переживала первый кризис, а подпольная христианская религия распространилась по всему Средиземноморью. Античная ученость сохранилась лишь на редких островках - вроде Александрийской библиотеки, которая понесла огромный урон еще в 47 году до н.э. Тогда Цезарь пытался возвести Клеопатру на египетский трон; вспыхнула война, пожар уничтожил весь египетский флот и большую часть свитков библиотеки. Но математикам легче восстановить утраченное знание, чем историкам или литераторам. Поэтому в эпоху Диофанта ни одно достижение геометрии еще не было забыто. В арифметике же появилось нечто нове, неведомое Евклиду и Эратосфену: отрицательные числа.
Диофант уже свободно работал с ними; он знал, что "минус, умноженный на минус, дает плюс". Возможно, что именно он угадал это не очевидное правило - хотя понять его геометрический смысл удалось лишь в 17 веке, когда европейские математики привыкли к комплексным числам. Но понятием нуля и позиционной записью целых чисел Диофант не владел.
Книга Диофанта "Арифметика" стала основой алгебры и теории чисел. В ней автор изучал решение уравнений-многочленов в целых числах. Он решил знаменитое уравнение Пифагора: X..+ Y.. = Z.. - и таким путем нашел все прямоугольные треугольники с целыми катетами и целой гипотенузой. Оказалось, что любое несократимое решение этого уравнения имеет вид: Z = A.. + B.., Y = A.. - B.., X = 2AB, где А и В - взаимно простые числа разной четности.
Конечно, Диофант пытался решить и следующее уравнение этого типа: X.. + Y.. = Z.. - но ни одной подходящей тройки чисел он не нашел. Только через 14 столетий случайно уцелевшая книга Диофанта из Александрии попала в руки к его достойному преемнику - Пьеру Ферма их Тулузы. В итоге родилась великая теорема Ферма...
Напротив, открытия Гиппарха сохранились не случайно. Ведь астрономия во все века была популярнее математики - ввиду ее родства с неизменно процветающей астрологией. А у Гиппарха нашелся через 300 лет достойный ученик - Клавдий Птолемей. Он составил удачный учебник: "Мегале Математике Синтаксис", где изложил систему Гиппарха со всеми необходимыми обоснованиями. Это пособие приобрело огромную популярность среди астрономов и астрологов, встало вровень с великой книгой Евклида. В переводе с греческого название книги Птолемея звучит: "Правила Великого Учения". Столь длинное название средневековые европейцы сократили до второго слова: Математика, или "Учение". Так мы называем теперь геометрию, арифметику, алгебру и все науки, которые позднее родились на стыке со строгой античной мудростью.
МАТЕМАТИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА
Начиная с 3 века н.э., все крупные государства Античного мира вошли в эпоху кризисов. Многие из них - как Римская империя в Средиземноморье и китайская империя Хань на восточном краю Евразии - распались на мелкие княжества и вскоре стали добычей соседних варваров. Затем эпоха распада империй сменилась эпохой переселения народов. На просторах Евразии разноплеменные варвары вновь и вновь делили наследство древних государств. Большая часть античной культуры погибла в этом пожаре: города были разграблены и покинуты, библиотеки сгорели, университеты закрылись, а ученые вымерли, не оставив учеников. В новом мире невежества островки науки и просвещения сохранялись только в монастырях разных религий: христианских на западе, буддийских или индуистских на востоке и юге Евразии. Позднее (с 8 века н.э.) в новой империи - Арабском Халифате - возникли исламские монастыри.
Большинство богословов Средневековья не одобряло античную мудрость; об ученых-исследователях говорили, что они "ум свой ставят в Бога место". Но в монастырях сохранилось уважение к древним рукописям: монахи переписывали их дословно, не вникая в смысл того, что написано. Таким путем многие достижения ученых эллинов или римлян сохранились в течение веков и достигли новых мыслителей, пройдя сквозь множество невежд.
Любознательные представители каждого нового народа, включаясь в мировую культуру, были вынуждены осваивать древнюю мудрость самостоятельно - без помощи старших коллег. Эта работа занимала века и поглощала все силы новых ученых. Поэтому в большинстве стран нового мира дело не дошло до оригинальных открытий вроде тех, которые сделали эллины. В средневковом мире нехватало городов-республик, подобных полисам Эллады; пока они не появились, наука развивалась очень медленно.
Из всех ойкумен Земли Индия оказалась наименее затронута переселением народов. Не удивительно, что именно здесь в 6 веке н.э. расцвела самобытная математическая школа. Познакомившись с достижениями эллинов, индийцы были удивлены: какая совершенная у них геометрия, и какая неудобная арифметика! Хуже всего греческая система записи чисел: с помощью букв, без всякой связи с привычным счетом на пальцах. Надо связать обозначения чисел с процедурой счета! Индийские ученые сделали это, создав позиционную десятичную систему счисления.
Первый шаг к этой цели сделал около 500 года молодой математик Ариабхата из города Кусумапура. Он начал изображать каждый разряд в десятичной записи целого числа парой букв. Согласная обозначала цифру, а гласная - номер разряда, так что символ ВА означал В*10.. Эти пары букв записывались по возрастанию степеней числа 10. Но различить такое слово-число в обычном тексте было не просто; поэтому вскоре начертания букв-цифр были изменены, и появились первые десятичные цифры. Нуля среди них еще не было - но вскоре пришлось его ввести, для удобства чтения десятичной записи. Через сто лет после Ариабхаты его соотечественник Брахмагупта уже свободно оперировал с отрицательными числами и нулем и решал целочисленные уравнения с таким же искусством, как Диофант.
Оставалось разнести эту полезную новинку по всему свету. Тут важнейшую роль сыграл современник Брахмагупты - пророк Мухаммед из Мекки. Он сам и многие его сподвижники были в равной мере воинами и купцами. Поэтому как только арабы покорили Иран и вторглись в Индию (в 660-е годы), они сразу оценили индийскую систему счета и переняли ее. Вскоре позиционная система счисления распространилась во всем арабском Халифате - от Индии до Андалузии (будущей Испании), от Египта до Поволжья. С тех пор во всем мире (кроме Индии) десятичные цифры называют "арабскими". Но, конечно, скорость усвоения этой новинки разными народами зависела от их экономического развития.
В конце 8 века мировое научное первенство перешло из Индийского мира в Исламский мир, центром которого стал Багдад, расположенный на Тигре - вблизи развалин Вавилона. Основатель Багдада - халиф Мансур (707-775) - хотел, чтобы его столица превзошла великолепием и ученостью Александрию и Константинополь. Но ученых арабов в ту пору было еще мало; ведущую роль в новом "Доме Мудрости" в Багдаде играли сирийцы и персы, согдийцы и греки, принявшие ислам.
Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва"ль-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус", хотя в этом деле не обошлось без курьеза.
Геометрический смысл синуса - это половина длины хорды, стягивающей данную дугу. Хорезми назвал эту вещь красиво и точно: "тетива лука"; по арабски это звучит "джейяб". Но в арабском алфавите есть только согласные буквы; гласные изображаются "огласовками" - черточками, вроде наших кавычек и запятых. Мало сведущий человек, читая арабский текст, нередко путает огласовки; так случилось с переводчиком книги Хорезми на латынь. Вместо "джейяб" - "тетива" - он прочел "джиба" - "бухта"; по латыни это пишется "sinus". С тех пор европейские математики используют это слово, не заботясь о его изначальном смысле.
В последующие века ученые Ближнего и Среднего Востока продолжали развивать наследие Эллады, стараясь объединить его с новым алгебраическим учением. При этом индийские математики больше уклонялись в арифметику, следуя по стопам Диофанта. Напротив, арабские ученые следовали по пути Архимеда. Они пытались разобраться в новом мире кубических уравнений: классифицировали их, выделяя те, которые решаются так же просто, как квадратные уравнения.
Наивысших успехов в этой области достиг ученый поэт Омар Хайям из Нишапура (1048-1131). Стихи он писал по персидски, научные трактаты по арабски, а в служебных делах пользовался тюркским языком. В 11 веке тюрки-сельджуки захватили большую часть Ирана и византийсих владений в Малой Азии. На этих землях новые народы осваивали и развивали наследие всех предшественников - от вавилонян до арабов.
Потерпев неудачу в прямом поиске корней произвольного кубического уравнения, Омар Хайям открыл несколько способов приближенного вычисления этих корней. Это была блестящая идея: добраться до неведомых чисел, используя хорошо знакомые кривые! Как только (в 17 веке) Рене Декарт добавил к ней вторую идею - описать любую кривую с помощью чисел - родилась аналитическая геометрия, в которой решение алгебраических уравнений слито воедино с теорией чисел и с наглядной геометрией. Предчувствуя эту связь, Омар Хайям поставил много интересных вычислительных опытов. Он нашел приближенные способы деления окружности на 7 или 9 равных частей; составил подробные таблицы синусов и с большой точностью вычислил Пи.
Хайям догадался, что это число и ррациональное, и даже не квадратичное - но доказать эту гипотезу не смог. Не удались Хайяму и попытки доказать пятый постулат Евклида о параллельных прямых. Не удивительно, что на отдыхе от таких трудов Омар Хайям писал довольно грустные стихи...
Тем временем на дальнем востоке Евразии другие математики и астрономы пытались постичь те же тайны природы на своем научном языке. В Элладе этот язык состоял, в основном, из чертежей - а в Китае из иероглифов. В сущности, иероглиф - это тоже чертеж особого рода, составленный из простых значков: каждый значок изображает одно простое понятие. Например, знак Шу означает "число", а знак Сюэ - "учение". Однако их сочетание - Шу Сюэ - обозначает не только учение о числах (то есть, арифметику), но и всю математическую науку. Как в таком случае назвать геометрию? Очень просто: Цзи Хэ Сюэ - "учение о том, сколько чего". То есть, геометрию китайцы воспринимали как науку, рассчитывающую свойства фигур - и только!
С этой точкой зрения наверняка согласился бы ученый из древнего Вавилона; но Пифагор или Платон ни за что не признали бы правоту китайцев. Если геометры займутся одними только расчетами - кто будет выяснять сущность природных тел или научных понятий? Ученый китаец отвечал на такой вопрос кратко и просто: ничего не нужно выяснять! Вся суть природы и науки уже выражена в иероглифах. Небо даровало их нашим предкам 20 веков назад - и ничего тут ни убавить, ни прибавить. Можно комбинировать известные иероглифы в новом порядке; но изменять их смысл нельзя - это противоречит законам природы и воле Неба!
Сравнивая этот консерватизм китайцев с новаторством эллинов или индийцев, невольно изумляешься: как многое зависит от удачной системы обозначений! Переход от смысловых иероглифов к звуковому алфавиту избавил Элладу от груза мертвых традиций Египта или Двуречья. Эллинам пришлось многому учиться заново - зато они смогли усвоить древнюю мудрость без множества сопутствующих заблуждений. Китайцам не выпало это трудное счастье. Их иероглифическая культура устояла даже под натиском переселения варварских народов - после крушения империи Хань. В итоге мудрецы средневекового Китая остались в плену древнейшей натурфилософии из всех, сохранившихся на Земле. Поэтому заочное соперничество между математиками Запада и Китая напоминает состязание двух бегунов - одного в легком платье, а другого - в кольчуге. Исход соревнования ясен: в античную эпоху эллины вырвались далеко вперед. В Средние века разрыв между китайцами и арабами заметно сократился, но в Новое время западные европейцы решительно опередили своих ближневосточных (и тем более - дальневосточных) коллег.
В течение всего Средневековья медленно развивавшаяся наука Исламского мира служила как бы "холодильником открытий". Здесь высшие достижения Эллады дожидались дерзких и умелых пользователей и продолжателей. Напротив, застывшая ученость имперского Китая стала в ту пору "холодильником интеллигенции". Только в 18 веке, когда новые дерзкие европейцы прорвались в Китай, они вызвали там пробуждение великих природных сил. К 20 веку китайские ученые вновь вошли в число передовых умов человечества: это выразилось и в нобелевских премиях, и в математических открытиях.
Вернемся в Европу, где после распада Римской империи наступили "Темные века". Нельзя сказать, что в эту пору исчезла государственность или прекратилась торговля. Напротив, они процветали в Восточной Римской державе, созданной новыми грекоязычными христианами - ромеями. Их часто называют и византийцыми - в честь древнего города Византия на Босфоре, который был тогда переименован в Константинополь и прозван "Вторым Римом". Умением плавать по морю и строить города ромеи не уступали своим предкам-эллинам; в государственных делах они подражали своим предшественникам - римлянам.
Но любви к натурфилософии или к точным наукам ромеи от эллинов не унаследовали; для них главным видом интеллектуального спорта сделалось богословие. Монахи и императоры косо смотрели на "языческую премудрость" эллинов. Не случайно самый прославленный император Византии - Юстиниан 1 (483-565) начал свое правление с того, что закрыл в 529 году Академию в Афинах. Прекратилась научная работа и в Александрийском Музее. В последующие века христианские и исламские богословы яростно спорили между собой, но сходились во мнении, что "из увлекшихся математикой лишь немногие не сделались вероотступниками и не сбросили с голов своих узду благочестия". Казалось, что золотой век греческой науки никогда не повторится в Европе.
Однако всему приходит конец - даже темным векам. Через 6 столетий после победы христианства - в 10 веке - в Западной Европе началась очередная культурная революция. Как прежде в Элладе, она охватила молодые народы: французов и немцев, бургундцев и чехов, которым от роду было не более ста лет. Вновь опорой культурного взлета стал новый образ жизни - но в этот раз не городской, а феодальный. Вместо былых республик-полисов в Европе размножались республики-монастыри и рыцарские замки. В тех и других господствовали строгий устав и трудовая дисциплина; но во всех вопросах, не охваченных Священным Писанием, допускалась немалая свобода мысли. "Мы наш, мы новый мир построим" - таков стал настрой мысли диковатых западных европейцев, не стесненных ни королевской, ни папской властью.
Рыцари стремились в крестовые походы, чтобы помериться силой с язычниками или мусульманами и разбогатеть. Многие монахи стремились крестить иноверцев, превратить их в свое подобие. Но другие мечтали о богатствах иного рода - тех, которые питают любознательный ум. Вот, лежит за Пиренеями загадочный Исламский мир, обильный ремеслами и ученостью. Как хорошо, что Карл Великий отвоевал у мусульман пограничную Барселону! Теперь в этом городе рядом с католиками живет немало ученых мусульман и иудеев. Любознательный христианин может многому у них научиться.
Так рассуждал французский монах Герберт из Орильяка - первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов - во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии - Кордову - и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам и стать цивилизованным человеком. Но Герберта интересовало только второе из этих предложений. Соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков - такую цель поставил перед собою отважный и упорный Герберт из Орильяка.
Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юношей обучали латыни и греческому, а желающих - также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. А какую библиотеку он привез из-за Пиренеев! В ней были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей...
Многие европейские правители стремились отдать своих сыновей в учение к Герберту. В 996 году один из его питомцев сделался королем Франции Робертом 2; тогда Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции. В 999 году другой ученик Герберта - Оттон 3 - стал правителем Римско-Германской империи. Тут уж Герберту пришлось стать римским папой - Сильвестром 2.
В Риме нового папу многие восприняли, как чернокнижника. Ведь он удивительно быстро считает с помощью арабской доски - абака - не пользуясь римскими цифрами! Да еще умеет предсказать исход бросания костей в игре! Он сам следит за движением звезд, строит благозвучные органы - хотя богословских споров избегает. Вдобавок, папа вместе с юным императором раздает королевские короны новокрещеным варварам Европы - норвежцам, мадьярам. Небывалый человек на престоле святого Петра!
Впрочем, политика Сильвестра 2 была успешна, и римляне начали понемногу привыкать к ученому папе. Но после смерти о нем пустили анекдот: будто в полночь на папском надгробии сами собой подпрыгивают игральные кости! Пятнадцатью веками раньше эллины сочинили немало сходных историй о Фалесе из Милета...
В отличие от Фалеса, пример Герберта не сразу сделался для европейцев предметом подражания. Нехватало широких контактов между Католическим и Исламским мирами. Они начались только в эпоху Крестовых походов - в конце 11 века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнюю столицу - Толедо. Вскоре туда потянулись многие последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Англии, Герардо из Кремоны в Италии. Все они стремились перевести на общедоступную латынь с арабского или с греческого языка труды древних ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел "Начала" Евклида и ряд книг Хорезми; Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.
Длинное название книги Птолемея ("Мегале Математике Синтаксис") арабы сократили до первого слова: получилось "Величие" - Аль-Магест. Новым европейцам понравилось второе слово - "Учение" (Математика). И вот с 12 века все европейцы называют так науку о числах и фигурах.
Первое столетие крестовых походов расширило кругозор очень многих европейцев. Особенно отличились жители приморских городов Италии: Венеции, Генуи, Пизы. Здешние мореходы переправляли крестоносцев и паломников в Святую землю, а купцы наживались, продавая добычу крестоносцев и иные "восточные" товары по всей Европе. Постепенно многие города католической Италии превратились в торговые республики, похожие на полисы античной Эллады. С начала 13 века в этих республиках заметна научная самодеятельность не только церковников, но и мирян - прежде всего, купцов.
В 1202 году появился первый "самодельный" учебник арифметики для широкого читателя - "Книга Абака". Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180-1240), с детства причастный к торговым делам своего отца. Арифметике он научился в Алжире у местных мусульман, а теперь сам обучал единоверцев новому десятичному счету. Позднее Фибоначчи написал учебник "Практическая геометрия" и "Книгу квадратов". В них впервые были изложены (на латыни) правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи.
Тем временем на папский престол взошел второй ученый человек: Лотарио ди Конти ди Сеньи (1160-1216), выпускник Парижского университета. Потомки запомнили его под грозным именем Иннокентия 3 - "Раба рабов Божьих", помыкавшего королями и свергавшего герцогов или князей по всей Европе. Только король Франции Филипп 2 Август порою осмеливался противоречить грозному папе - в тех случаях, когда он мог опереться на авторитет Парижского университета. Так первые католические университеты заявили о своей независимости от любой духовной или светской власти. Наряду с городами-республиками Италии, они сделались рассадником независимой учености в Европе. Процветающий Католический Интернационал начал походить на созвездие полисов Эллады.
Английские университеты заявили о себе в середине 13 века. Тогда англичане, опираясь на свою первую конституцию (Великую Хартию Вольностей), попытались взять под контроль легкомысленного короля Генри 3 и его алчных фаворитов. Духовным лидером этого движения стал ученейший богослов - Роберт Гросетест ("Головастый"), епископ Линкольна (1175-1253). Он увлекся оптикой и пришел к мысли, что весь мир возник из света - самой совершенной формы материи. Более грубые тела получились при застывании света. Таким образом, Гросетест представил мир как результат игры двух начал - света и порядка, или (в понятиях 20 века) энергии и симметрии. Ни один современный физик или математик не станет с этим спорить!
Подобно античным натурфилософам, Гросетест не мог рассчитать свою физическую модель. Зато другая таинственная вещь - бесконечность - поддавалась расчету, и Гросетест увлекся этим делом. Он начал суммировать бесконечные ряды чисел, и вскоре научился отличать сходящийся ряд от расходящегося. Но и расходиться ряд может с разной скоростью. Гросетест заметил, что сумма натуральных чисел растет гораздо медленнее, чем сумма их квадратов, а сумма квадратов - медленнее, чем сумма последовательных степеней двойки. Так первый из христиан проник в область бесконечно больших и бесконечно малых величин - вслед за Архимедом и на 4 столетия опережая Ньютона. Хорошая компания для богослова!
Подобно Платону и Аристотелю, Гросетест очень заботился о воспроизводстве ученого сословия в Англии. Он считал, что античных классиков (особенно Аристотеля) нужно изучать в подлиннике, а не по дурным переводам на латынь, сделанным с арабских переводов оригинала. Для этого Гросетест пригласил в Англию ученых греков - беглецов из Константинополя, разоренного крестоносцами в 1204 году. Так в Оксфорде и Кембридже появились первые греческие профессора. Этот посев принес замечательные плоды. Среди учеников Гросетеста оказались выдающийся алхимик Роджер Бэкон (один из изобретателей пороха) и граф Симон де Монфор - организатор первого выборного парламента в Англии. Платон и Аристотель гордились бы такими учениками!
Коллегой и соперником Роберта Гросетеста на европейском континенте стал другой богослов - Фома Аквинский (1225-1274). Этот мрачноватый итальянец шел по стопам Аристотеля и Евклида, пытаясь изложить всю христианскую ученость в виде цепи определений, аксиом и теорем.
В отличие от Гросетеста, Фома не признавал рассуждений о бесконечности. Он был уверен, что у всякой вещи в природе есть исток, в котором она достигает наивысшего совершенства. Первоисток всех вещей - то есть, наиболее совершенную вещь в природе - Фома отождествил с Богом. А можно ли измерить степени совершенства разных природных объектов и самого Бога? Такая мысль не казалась Фоме ересью - но ответить на этот вопрос он не смог. Было ясно, что известных чисел нехватает для такого измерения. Только в 19 веке европейские математики Эварист Галуа и Феликс Кляйн научились измерять совершенство (то есть, симметрию) природных тел с помощью особой ветви математики - теории групп.
Итак, в 13 веке католические богословы научились задавать природе такие вопросы, которые потребовали создания новых разделов математики. Этот уровень знаний можно сравнить с уровнем пифагорейцев. Вскоре те же богословы достигли уровня сомнений Зенона из Элеи. Рядом с древними парадоксами об Ахиллесе и черепахе и о делении отрезка пополам появились парадоксы о Буридановом осле и о неподъемном камне.
Жан Буридан (1300-1358) был профессором Парижского университета (Сорбонны) в тяжкие годы Столетней войны между Англией и Францией и раскола в католической церкви. Король Франции попал в плен к англичанам; в Риме и в Авиньоне правили двое пап, не признающих и проклинающих один другого. В этих условиях "Святая Сорбонна" сделалась высшим авторитетом католической мысли: ее ученый совет не раз выносил приговоры в спорах между графами или кардиналами.
Например, Буриданов осел стоит между двух одинаковых кормушек с сеном. Какую из них он выберет, не зная понятий "правое" и "левое"? Или всемогущий Бог: может ли он создать такой камень, который он сам не сможет поднять? Вероятно, эти вопросы родились из студенческих шуток - но отвечать пришлось профессорам, и это было совсем не просто. Ведь спор шел не в тишине монашеской кельи, а в пылу ученого диспута - в присутствии сотен смышленых болельщиков. Согласно преданиям, Буридан был непобедим в подобных спорах; за это его выбрали ректором Сорбонны. Но окончательное решение таких парадоксов математики нашли лишь в начале 20 века - в рамках созданной Георгом Кантором теории множеств, которую один из ее противников назвал "не ветвью математики, а разделом богословия". Трудно привыкнуть к неожиданным новинкам в той области, где ты издавна чувствуешь себя знатоком и мастером!
Современники больше всего уважали Буридана за то, что он переспорил папу Иоанна 22 в споре о Страшном Суде: когда человек попадает в рай или в ад - сразу после смерти, или только в конце света? Для ученых 20 века важнее то, что Буридан переспорил Аристотеля: он первый открыл принцип инерции в прямолинейном или вращательном движении. Позднее этот постулат Буридана называли либо первым законом Ньютона, либо законом сохранения импульса, либо описанием наименьшей группы симметрий в классической механике. Слова могут быть разными, но суть одна: был сделан первый шаг дальше того рубежа, на котором остановились или споткнулись античные мыслители.
Другой шаг в ту же сторону сделал еще один профессор Сорбонны: Раймонд Луллий с острова Мальорка (1235-1315). Он не собирался спорить с Аристотелем или Евклидом - но он прочел их книги ("Органон" и "Начала") глазами инженера и подумал: можно построить машину, которая будет автоматически выполнять все арифметические действия с числами и логические операции над любыми утверждениями! Так в начале 14 века в Европе родился первый проект механического компьютера. Построить его Луллию не удалось: слишком низок был тогда уровень механического ремесла во всем мире. Но из книги Луллия "Великое искусство" видно, что автор сознавал возможные последствия компьютерной революции.
Раймонд Луллий вырос в Каталонии - отвоеванной у мусульман приморской части Андалузии. Он был разочарован прекращением крестовых походов: ведь юг Пиренейского полуострова все еще находится во власти мусульман, и Святая Земля вырвана ими из рук католиков. Но если мы не сумели одолеть иноверцев мечом - надо одолеть их умом! Аристотель и Евклид изложили все правила и методы верных умозаключений. Если нам удастся воплотить эти правила в механическом устройстве, то христианская наука быстро превзойдет все достижения мусульман, и на земле наступит царство Христа!
Эти мечты католического мыслителя до странности напоминают мечты Аристотеля: стоит эллинам покорить всех варваров, как на Земле наступят общий мир и благодать. Однако Аристотель видел лишь один путь к этому счастью - политический, через всемирную монархию Александра Македонского или иного просвещенного завоевателя. Воображению Луллия открылся другой путь - через научно-техническую революцию. Ее зарю возвестил гром пушек: они появились в Европе еще при жизни Луллия.
Однако решающий прорыв из Средневековья в Новое время европейцы совершили, когда изобрели печатный станок с подвижным металлическим шрифтом. В 1454 году Иоганн Гутенберг напечатал в Майнце первые 300 экземляров Библии и положил начало информационной революции - столь же важной, как появление алфавита в Элладе в 8 веке до н.э., или появление электронных компьютеров в середине 20 века. В 1482 году в Венеции была впрервые напечатана (по латыни) книга Евклида "НГачала". С этого момента для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.
МАТЕМАТИКА 16 ВЕКА: ЛЮДИ И ОТКРЫТИЯ
В 16 веке европейские математики сумели, наконец, сравниться в мудрости с древними греками и превзойти их там, где успехи эллинов были не велики: в решении уравнений. Такой прорыв в неведомое стал итогом долгой культурной революции. Она началась в 14 веке, когда в Италии появились первые великие поэты Нового времени: Данте Алигьери (1265-1321) и Франческо Петрарка (......). Подобно Гомеру, они объявили своим современникам: пришла пора строить новый мир, равняясь на античные образцы и стараясь их превзойти!
Городские коммуны Италии 14-16 веков были во многом похожи на полисы Эллады. На их улицах гремели столь же бурные политические споры и религиозные проповеди, а в залах университетов обычные лекции чередовались с публичными диспутами на самые разные темы. Существуют ли в природе те "универсалии", о которых писал Платон? Например, законны ли общие понятия "овощ" и "фрукт" - или существуют только репа и капуста, яблоко и персик? Возможны ли в геометрии новые теоремы, не известные Евклиду? Можно ли решить те геометрические задачи, которые были не под силу древним грекам - например, разделить любой угол на три равные части?
Когда распространилось книгопечатание, споры этого рода начали волновать не только узкий круг профессионалов. Теперь каждый образованный человек мог заглянуть в книгу Евклида или Архимеда и составить свое мнение об их открытиях. Итальянские художники 15 века научились применять стереометрию в живописи. Они изобрели технику перспективы, благодаря которой плоские изображения пространственных тел кажутся неотличимы от реальных предметов. Особенно отличился в этой области Леонардо да Винчи из Флоренции (1452-1519). Следуя по стопам Архимеда, он применял геометрию к решению механических задач: например, Леонардо рассчитал и построил водолазный колокол, создал проекты подводной лодки и вертолета.
Ровесник Леонардо - профессор Сципион дель Ферро из Болоньи (ум.1526) посвятил всю жизнь решению различных алгебраических уравнений. Затруднения, связанные с неудобными обозначениями неизвестных величин и действий над ними, были огромны. Попробуйте, например, решить квадратное уравнение, не используя знаки (+), (-) и .., а заменяя их словами! Сципион преодолел эти трудности. Комбинируя решение квадратного уравнения с извлечением кубического корня, он сумел решить уравнение вида (х.. = рх + q). Оказалось, что оно имеет 3 разных корня, и что к нему сводится произвольное кубическое уравнение вида (ах.. + вх.. + сх + d = 0). Сейчас эти факты очевидны для каждого старшеклассника, видавшего график функции (у = х..) и понимающего, что такое линейная замена переменной в многочлене. Но итальянцы 16 века не ведали понятий "функция", "график" и "многочлен"!
Характерно, что Сципион дель Ферро не опубликовал свое открытие в печати. Он не смог изложить его просто и доступно для любознательного студента, а оставил лишь записи, понятные математикам высшей квалификации. Один из таких читателей - Никколо Фонтана из Брешии (...) по прозвищу Тарталья ("Заика") - разобрался в записях Ферро и начал применять кубические уравнения при составлении и решении новых алгебраических задач. Эти задачи он предлагал своим коллегам-соперникам на регулярных диспутах, похожих на современные олимпиады для школьников или на шахматные турниры. Победа на таком турнире была очень важна для профессора: чем ярче его успех, тем больше студентов посещают его лекции, и тем выше оплачивают его труд городские власти!
Некоторое время Никколо Тарталья был почти непобедим в математических соревнованиях; сравниться с ним мог только Джироламо Кардано (.......) из Павии. В 1535 году, обсуждая итоги очередного турнира, Тарталья и Кардано заговорили о решении кубических уравнений. Тут Тарталья (нечаянно, или ради похвальбы) сообщил Кардано, что он знает способ решения кубических уравнений, открытый еще профессором Ферро.
Мы не знаем, сколь много нового рассказал Тарталья Кардано. Но мастеру хватило этой информации для полного решения кубического уравнения; в итоге Кардано сравнялся с Тартальей в алгебраическом мастерстве. Он не стал скрывать свое умение от всех, а поделился им со своим лучшим учеником - Лодовико Феррари (....). Тот, придя в восторг, попробовал развить новую технику для решения уравнений степени 4 - и преуспел в этом деле. Тут Кардано почувствовал, что в математике назревает переворот. Кто первый поведает людям о новых алгебраических открытиях - тот прославится на весь мир и встанет вровень с Евклидом!
В 1545 году Кардано опубликовал книгу "Великое искусство", в которой дал полное решение уравнений-многочленов степени 3 или 4 и тех задач, которые к ним сводятся. При этом Кардано честно написал о заслугах Ферро, Тарталья и Феррари. Тем не менее, Тарталья был возмущен: у него украли его тайную славу! Последовал долгий ожесточенный спор, завершившийся уроком на все времена. Честь нового открытия достается тому, кто первый сообщит о нем широкой публике во всех подробностях! Так способ решения кубического уравнения (х.. = рх + q) получил название "формула Кардано":
Формула Феррари для корней многочлена степени 4 выглядит еще сложнее, поскольку в ней решение идет в два этапа. Сначала по уравнению степени 4 составляется вспомогательное кубическое уравнение, а потом по нему - квадратное уравнение.
Можно было надеяться, что такой прием позволит решить любое уравнение-многочлен. Но эта гипотеза не оправдалась. Через 300 лет после открытий Ферро его коллеги - норвежец Нильс Абель и француз Эварист Галуа - доказали, что корни некоторых многочленов степени 5 НЕ выражаются через их коэффициенты с помощью арифметических действий и извлечения корней любой степени. Оказалось, что в алгебре (как и в геометрии) существуют задачи, не разрешимые теми методами, которые использовали изобретатели этих задач!
Но в 16 веке такие мысли не приходили в голову математикам. Им важно было разобраться в способах решения тех задач, которые не поддаются усилиям отдельных умельцев. Как сделать эти способы общедоступными? В алгебре эту проблему удачно решил Франсуа Виет (1540-1603) - первый крупный математик Франции. Он впервые использовал привычные нам знаки арифметических действий над известными числами или над буквами, изображающими неизвестные числа. Изложив на этом языке все известные факты о решении уравнений-многочленов, Виет заметил: если многочлен имеет полный набор корней (число которых равно его степени), то сам многочлен разлагается в произведение множителей вида (х-а), где символ (а) обозначает любой корень многочлена.
Из этой формулы: Р(х) = (х-а..)(х-а..)...(х-а..) - видно, как выразить любой коэффициент многочлена через его корни. Например, свободный член равен произведению всех корней, а их сумма равна коэффициенту при неизвестном в степени (n-1). Все эти соотношения названы формулами Виета. Они позволяют быстро находить "в уме" корни многих многочленов по их коэффициентам, но общего пути для таких поисков они не дают.
Открытие Виета выявило неожиданную аналогию между многочленами и целыми числами: они одинаково просто разлагаются на неразложимые множители! В мире чисел такими множителями являются простые числа - а среди многочленов двучлены вида (х-а) или более сложные неразложимые многочлены. Каковы они могут быть? Например, можно ли разложить на линейные множители многочлены (х..-2) или (х..+1), не имеющие рациональных корней?
Первый из них имеет два иррациональных корня: один - положительный, другой - отрицательный. С таким числами Виет обращался свободно. Он даже сумел выразить через них знаменитое число П - правда, лишь в виде бесконечного произведения:
2/П = (соs п/4)*(cos п/8)*(cos п/16)...
Все множители, стоящие в правой части этого равенства, Виет выразил через корни разных степеней из рациональных чисел. Получилась такая формула:
К сожалению, она не удобна для вычисления П с любой точностью. Более удобные формулы этого рода были найдены другими математиками: Джоном Валлисом в 17 веке и Леонардом Эйлером в 18 веке.
Решение уравнений-многочленов степеней 3 и 4 стало крупным успехом новой европейской математики. Но за всякий успех приходится платить. Платой за удачи Кардано и Феррари оказалось появление МНИМЫХ чисел. Так были названы квадратные корни из отрицательных чисел. Они неизбежно возникают при решении кубического уравнения по способу Кардано, даже если такое уравнение имеет три действительных корня.
В середине 16 века европейские математики уже привыкли к целым и дробным, отрицательным и иррациональным числам. Любые два числа этих сортов можно сравнить по величине и изобразить точками на числовой прямой: (а) лежит справа от (в), если а<в. Но выражения вида .... или 1 +..... не удается вписать в эту общую картину! И хотя было понятно, как проделывать над ними арифметические действия и даже как извлекать из них корни - но придумать для новых чисел удачные геометрические "портреты" математики сумели лишь к концу 18 века. До тех пор "мнимые" числа считались безобразным промежуточным продуктом неискусных вычислений: их терпели, но избегали говорить и думать о них. Вспомним, что на 20 веков раньше Пифагор и его ученики так же относились к новонайденным иррациональным числам!
Одновременно с такими спорами и мучениями первопроходцев-теоретиков, привычная арифметика целых чисел и десятичных дробей уверенно проникала в быт новых европейцев Учебники практической геометрии и арифметики издавались тиражами в сотни экземпляров на живых языках: итальянском, французском, немецком, английском. Картографы составляли новые варианты глобусов с новыми континентами и океанами и старались изобразить земную поверхность на плоской карте с наименьшими искажениями. Особенных успехов в этой прикладной геометрии добился фламандец Герард Кремер (по латыни его называли Меркатор). В 1559 году он предложил цилиндрическую проекцию глобуса на плоскость. Она удобна тем, что сильно искажает лишь те земли, которые (как Гренландия) лежат вблизи земных полюсов и не очень важны для мореходов.
В эту же эпоху Франсуа Виет был вынужден то и дело отвлекаться от алгебраических исследований ради дешифровки очередной испанской тайнописи. Шла упорная религиозная война между католической Испанией и французскими протестантами (гугенотами). Король-гугенот Генрих 4 хотел вовремя узнавать коварные планы могучего короля-католика Филиппа 2 - и его придворный математик Франсуа Виет успешно справлялся с этой задачей. Среди испанцев он заслужил славу непобедимого колдуна; это очень похоже на репутацию Архимеда среди римлян, осаждавших Сиракузы! Но уже наступила иная эра. Научно-технический прогресс сделался неудержим, и политические победы доставались тому, кто раньше включился в общую гонку за научной истиной и упорнее следовал по этому пути.
ВЕК 17: от КЕПЛЕРА до НЬЮТОНА
Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке. Действительно, в конце этого столетия образовались первые академии наук и была создана первая научная картина мира, объединившая механику с астрономией. Основу такого синтеза первым угадал Галилей, заявивший около 1630 года: Природа говорит с нами на языке математики! Вернее сказать, что природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка. Мы называем эти диалекты арифметикой, геометрией, алгеброй или математическим анализом, но не всегда чувствуем их единство, а многих диалектов мы еще не знаем. Оттого в любой момент времени наше представление о законах природы не полно, и нередко оно противоречиво.
Устранение каждого противоречия требует серьезной перестройки в системе математических понятий. Что-то привычное мы вынуждены отвергнуть, как заблуждение; другие знакомые слова приобретают новый смысл. Начиная с 17 века, это "понятийное землетрясение" сделалось в науке обычным явлением: все к нему привыкли и терпят его, а многие радуются такой беспокойной жизни. Но войти в этот режим работы нелегко даже в наши дни; насколько же труднее было первопроходцам! Не удивительно, что у истока новой науки собрались люди с причудливыми характерами. Всех их объединяло безграничное любопытство, беспредельное трудолюбие и буйная фантазия.
Первым в этом ряду богатырей оказался немец Иоганн Кеплер (1571-1630) - неутомимый наблюдатель и неугомонный вычислитель. Он вошел в большую науку в 1600 году - когда императорский астроном Тихо Браге принял его на работу в Пражскую обсерваторию. Тщательно наблюдая за движением планет среди звезд в течение 30 лет, Браге накопил огромный запас точных данных - но не мог привести их в единую систему. Он быстро отверг давнюю геоцентрическую модель Птолемея и недавнюю гелиоцентрическую модель Коперника (в которой сохранилась система эпициклов, введенных Гиппархом). Но каковы истинные траектории полета планет в пространстве ? В каком режиме они движутся по этим кривым? Браге поручил Кеплеру разобраться в движении Марса: оно более всего противоречит здравому смыслу, ибо временами Марс вдруг останавливается среди планет и пятится назад.
Кеплер сразу догадался: если орбита Марса не может быть окружностью, то, скорее всего, она - эллипс. Кажущееся движение Марса вспять можно объяснить просто: Солнце находится не в центре эллипса, а сдвинуто куда-то вбок. Куда? Скорее всего, в фокус эллипса - самую замечательную точку, связанную с этой кривой. Но в каком режиме движется Марс по своему эллипсу - это можно выяснить только путем громоздких расчетов. Эта работа заняла у Кеплера 8 лет; он испытал и отверг около 20 разных гипотез, пока не нашел (в 1609 году) истинную: за равные отрезки времени вектор, соединяющий Солнце с Марсом, заметает в плоскости их общего движения секторы равной площади.
Чтобы справиться с огромным объемом вычислений, Кеплеру пришлось сделать два замечательных изобретения. Во-первых, он научился заменять умножение многозначных чисел сложением их логарифмов. Во-вторых, Кеплер научился вычислять путь, пройденный планетой за данное время, по известной (переменной) скорости планеты.
Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непира. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах. Таблицы Непира открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка.
Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред. При этом он использовал десятичные логарифмы: они более удобны в расчетах, чем натуральные логарифмы, с которыми работал Непир. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (в 1642 году) и немец Вильгельм Лейбниц (в 1671 году). Паскаль построил первый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание многозначных чисел. Арифмометр Лейбница позволил также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в 20 веке - когда развитие физики позволило создать электронные вычислительные машины (компьютеры).
Успехи Кеплера в расчете пройденного планетой пути по известной скорости ее движения стали первым шагом в новой науке - интегральном исчислении. Сам Кеплер воспринимал его просто: как способ вычисления площади фигуры, ограниченной плоской кривой, либо объема тела, ограниченного данной поверхностью. В 1615 году Кеплер опубликовал книгу со странным названием: "Новая стереометрия винных бочек, по преимуществу - австрийских". Это был первый сборник задач на вычисление интегралов; он содержал около ста разных примеров с подробными решениями. В частности, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком (у = х..), осью (Х) и отрезками (х=а) и (х=в), равна (в...-а...)/(к+1) - если к = -1. Если же к = -1, то эта площадь равна разности логарифмов ln(в) - ln(а).
Таким образом, одна строчка в таблице интегралов от функций соответствует огромной таблице логарифмов чисел. Из этого видно, что для будущей математики исчисление функций гораздо важнее привычной арифметики и алгебры чисел. В новом мире функций, кроме арифметики и алгебры, действуют особые операции. Первые две из них - проведение касательной прямой к данной кривой и вычисление площади, которую ограничивает кривая - угадал еще Архимед. Теперь Кеплер разработал удобную технику решения второй задачи. Но исчислять кривые так же просто и непринужденно, как числа, Кеплер не умел. Революцию в этом ремесле произвел в 1637 году другой великий математик - француз Рене Декарт (1596-1650).
В отличие от Кеплера, Декарт не любил долгих расчетов. Он предпочитал наглядно-геометрические рассуждения и хотел работать этим методом с любыми сложными кривыми - а не только с прямыми и окружностями, как делал Евклид. Для этой работы полезно уметь складывать, вычитать и умножать кривые между собой - так же, как мы это делаем с числами. Возможно ли это?
Декарт изобрел такой способ, заметив, что многие кривые на плоскости задаются простыми уравнениями - после того, как мы введем на плоскости координаты, изобразив каждую точку ПАРОЙ чисел (х,у). Например, параболу можно задать уравнением (у = х..), или (х = у..).
Окружность задается уравнением (х.. + у.. = а..), а эллипс - похожим уравнением (х../а.. + у../в.. = 1).
Уравнение гиперболы может иметь вид (ху = 1), или (х../а.. - у../в.. = 1). И вообще: каждое уравнение с двумя неизвестными F(x,y) = 0 задает на координатной плоскости некую кривую! Но над уравнениями легко проделывать любые арифметические операции. Все они приобретают геометрический смысл, когда мы чертим или мысленно воображаем кривую, соответствующую данному уравнению.
Таким образом, плоские кривые можно описывать на одном из двух эквивалентных языков: наглядно-геометрическом, или аналитическом (через формулы). Двусторонний "словарь", переводящий фразы одного из этих языков в равнозначные фразы другого языка, Декарт назвал аналитической геометрией.
Он заметил, что методы этой науки нетрудно перенести и в пространство. Для этого достаточно изобразить любую точку пространства ТРОЙКОЙ чисел (х,у,z). После этого любое уравнение с тремя неизвестными F(x,y,z) = 0 задает в пространстве некую поверхность, а пересечение двух поверхностей задает кривую в пространстве. Правда, не ясно: всякую ли кривую в пространстве можно задать системой из двух уравнений с тремя неизвестными?
Положительный ответ на этот вопрос математики получили только в 20 веке. Для этого потребовались сложные расчеты и введение многих новых понятий, которые не приходили в умную голову Декарта. Сам он ограничился классификацией тех кривых на плоскости, которые задаются многочленами степени 2. Оказалось, что новых кривых в этом классе нет: только эллипс, парабола и гипербола. Классифицировать все плоские кривые степени 3 Декарт поленился: это требовало сложных вычислений, которые позднее проделал Ньютон.
Декарт не стал всерьез развивать аналитическую геометрию трехмерного пространства: он не мог предугадать, какие задачи окажутся там наиболее интересны и полезны. И конечно, Декарт ни словом не обмолвился о четырехмерном или многомерном пространстве, точки которого изображаются наборами из четырех или более чисел: (x,y,z,t,...). Аналитический подход наиболее удобен для исследования многомерных пространств; но в середине 17 века любое упоминание о такой возможности было бы расценено как чепуха или как ересь. Декарт любил жизненные удобства и не хотел разделить судьбу Галилея, осужденного церковью за слишком смелые мысли о научном познании природы.
Еще спокойнее прожил свою жизнь великий современник и соотечественник Декарта - Пьер Ферма из Тулузы (1601-1665). По основной профессии он был юрист, а математикой занимался на досуге - читая книги классиков или современников и размышляя о тех задачах, которые те не заметили или не сумели решить. Понятно, что при таком способе работы Ферма ни в одной области науки не был первым. В математический анализ он вошел вслед за Архимедом и Кеплером, в аналитическую геометрию - вслед за Декартом, в теорию вероятностей - вслед за Паскалем, в теорию чисел - вслед за Диофантом. Но в каждом случае Ферма добавлял в уже готовую или только рождающуюся науку столь важные открытия, что превзойти его результаты могли только гении - порою много десятилетий спустя.
Например, Ферма заинтересовался простой задачей: при каких условиях функция достигает минимума или максимума в данной точке ? Оказалось, что необходимо простое условие: производная от функции в этой точке должна быть равна нулю. В наши дни этот факт известен каждому старшекласснику: он помогает строить графики довольно сложных функций. Но Ферма попробовал распространить свое открытие на функции, зависящие от многих переменных - и пришел к замечательному физическому открытию. Оказалось, что свет движется по такой траектории, на которой производная по времени равна нулю. Значит, время движения света вдоль этой траектории - минимальное! Лишь сто лет спустя Пьер Мопертюи и Леонард Эйлер открыли аналог принципа Ферма в механике; это стало первым шагом к объединению механики с оптикой в рамках квантовой теории.
Теорию чисел Ферма строил почти в одиночестве: из всех его современников только англичанин Джон Валлис интересовался ею. Но Ферма имел важное преимущество перед Валлисом и перед своим античным предшественником - Диофантом. Он хорошо знал аналитическую геометрию и оперировал уравнениями так же свободно, как числами. Поэтому он легко доказал "малую теориму Ферма" и узнал, что существуют конечные поля вычетов - системы чисел, устроенные (в смысле арифметики) еще удобнее, чем множество целых чисел.
Развивая этот успех, Ферма заинтересовался пифагоровыми тройками чисел - целыми решениями уравнения (х.. + у.. = z..). Существуют ли целые решения уравнений (х.. + у.. = z..) при n>2? Диофант не нашел ни одного решения для n=3; Ферма доказал, что таких решений не может быть. Оставалось обобщить метод Ферма для других простых показателей: 5, 7, 11... К сожалению, Ферма не стал проводить в этих случаях подробные расчеты - и поэтому не заметил удивительных алгебраических препятствий на своем пути. Например, при n=5 необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Далее, при n=23 доказательство "большой теоремы Ферма" натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители. Эту новую революцию в алгебре вызвал Эрнст Куммер в середине 19 века...
В целом, деятельность Ферма (как и деятельность Архимеда) можно сравнить с работой полноценной академии наук. Но увы - при жизни Ферма таких академий еще не было! Не было и научных журналов для публикации новых открытий. Поэтому все крупные ученые Европы узнавали о новых достижениях своих коллег из взаимной переписки. Некоторые любители математики (как аббат Мерсенн в Париже) сделали такую переписку своим главным вкладом в науку. Они регулярно сообщали всем своим корреспондентам о том, какие факты открыли их далекие коллеги. Если новый факт привлекал чье-то внимание, то от автора требовали письменного доказательства. В противном случае сообщение повисало в воздухе. Так случилось со многими объявлениями Ферма в теории чисел; оттого две его ошибки в этой области (с уравнением х.. + у.. = z.. и с простыми числами вида 2....+1) остались не замечены.
Такой "любительский" стиль коллективной работы в науке был неизбежен и даже удобен, пока во всей Европе одновременно работали два-три десятка крупных ученых. Как только их стало больше - общую работу пришлось организовать с помощью научных учреждений. Этот перелом произошел в 1660-е годы. В 1662 году объявило о своем рождении Королевское Общество в Лондоне, а в 1666 году по его образцу возникла Парижская Академия Наук. Оба эти содружества ученых сразу начали публиковать отчеты о своих собраниях и о тех открытиях, которые там обсуждались. С этого момента научный интернационал европейцев начал развиваться быстро и неудержимо. В год смерти Ферма в науку вошел самый прославленный ученый 17 века - Исаак Ньютон...
НЬЮТОНОВА РЕВОЛЮЦИЯ В НАУКЕ
Так математики и физики называют последнюю треть 17 века и первую четверть 18 века - то время, когда был создан современный математический анализ (исчисление производных и интегралов от любых гладких функций). Эту огромную работу проделала большая группа ученых из разных стран Европы. Но англичанин Исаак Ньютон занимает среди них особое место. Он был на редкость талантлив, ему во многом повезло, и он с блеском использовал это везение.
Будучи студентом, Ньютон прочел изданную в 1656 году книгу Джона Валлиса "Арифметика бесконечно малых". Ее автор свободно работал с интегралами, бесконечными рядами и бесконечными произведениями, не очень заботясь о корректности своих рассуждений. Вот типичный результат Валлиса:
2*4*4*6*6*8*8*.....
П/4 = ----------------------
3*3*5*5*7*7*9*.....
Валлис первый начал рассматривать интеграл не геометрически, а арифметически - как предел последовательности чисел. И в геометрии Валлис предпочитал алгебраические доказательства теорем (в стиле Декарта) наглядно-геометрическим рассуждениям Евклида. В 1660-е годы Валлис, будучи духовником короля Карла 2, сыграл важную роль в учреждениии Лондонского Королевского Общества - английской академии наук. Позднее он стал горячим пропагандистом математических открытий Ньютона.
Другой учитель Ньютона - Исаак Барроу - первый заметил, что вычисление площади под графиком функции и проведение касательной к графику функции - взаимно обратные операции. Но Барроу избегал алгебраических доказательств, а работал в стиле Евклида; поэтому его книги были мало понятны молодым читателям. Когда Барроу услышал от Ньютона новое изложение основ математического анализа ("метод флюент и флюксий"), он пришел в восторг и вскоре уступил своему ученику кафедру математики в Кембриджском университете, а сам занялся богословием.
Третий предшественник Ньютона - Роберт Гук - был замечательный физик-экспериментатор. Он также пытался вывести открытые Кеплером законы движения планет из притяжения Земли к Солнцу. Гук угадал, что для справедливости законов Кеплера необходимо, чтобы притяжение между телами было обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Но строго доказать этот факт Гук не сумел или не успел; Ньютон опередил его, и с тех пор они стали соперниками на всю жизнь.
Опираясь на достижения этих первопроходцев, Ньютон совершил в 1665-67 годах великий прорыв в новую математику. Эти два года он провел в одиночестве, скрываясь в деревне от эпидемии чумы и неустанно размышляя о том, как описать законы природы с помощью исчисления сил, действующих между природными телами и вызывающих движения этих тел. Понимание существа дела пришло к Ньютону на очень высоком уровне абстракции. Что, собственно, происходит в природе?
Есть некие величины, измеряемые числами и изменяющиеся со временем - как бы текущие; Ньютон назвал их по латыни - "флюенты", а мы называем их функциями. Можно вычислить скорость изменения такой флюенты - "флюксию" (или производную); она тоже изменяется со временем. Любой природный закон выражается некой алгебраической или геометрической связью между разными флюентами и их флюксиями. Такую связь математики называют в наши дни дифференциальным уравнением.
Чтобы эти общие рассуждения превратились в строгую науку, нужно придумать удобный "портрет" флюенты или флюксии, доступный как для геометрического воображения, так и для алгебраических расчетов. Первую часть такого портрета открыл Декарт: это график функции. Вторую (алгебраическую) часть портрета функции предложил Ньютон. Он стал изображать любую функцию степенным рядом, то есть бесконечно длинным аналогом многочлена. Например:
sin(x) = x - x../6 + x../120 - x.../5040 + ...
Таким образом Ньютон навел порядок в новом сложном мире гладких функций и дифференциальных уравнений, связывающих эти функции между собой, согласно законам природы. В этой картине мира многие сложные проблемы прошлого стали простыми вычислительными упражнениями. Такова, например, теорема Ньютона-Лейбница о том, что операции интегрирования и дифференцирования функций взаимно обратны. Аналогично, из угаданной Гуком формулы закона притяжения между массивными телами Ньютон алгебраически вывел все возможные типы орбит, по которым движутся небесные тела. Это оказались кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола. Режим движения тел по этим кривым удовлетворяет законам Кеплера.
Так новая математика Ньютона свела экспериментально обнаруженные законы движения планет и комет к более глубоким законам, которые регулируют силовое взаимодействие любых природных тел. Можно ли свести законы природных сил к еще более глубоким природным закономерностям?
Ньютон был уверен, что это возможно. Но он догадывался, что новый шаг в познании природы потребует создания совсем новых разделов математики - и не мог угадать, какими они должны быть.
Между тем современники Ньютона постепенно открывали новые законы механики: законы сохранения различных числовых характеристик природных тел в наблюдаемых нами процессах. Так, Валлис открыл закон сохранения импульса, а Лейбниц - закон сохранения кинетической энергии. Гюйгенс вывел дифференциальное уравнение колебаний маятника: в них кинетическая энергия переходит в потенциальную, и обратно.
Но на рубеже 17-18 веков никто не догадался, что именно законы сохранения составляют следующий по глубине слой природных закономерностей. Их понимание потребовало новой революции в математике: изучения природных симметрий с помощью теории групп. Ее создание и применение заняло весь 19 век и большую часть 20 века. Предугадать такое развитие математики Ньютон не мог - хотя в его книгах содержатся проекты изучения симметрий природных тел, их связей с силами взаимодействия между телами. Самым интересным явлением этого рода Ньютон считал отталкивание электрических зарядов, а также удивительно правильную форму кристаллов.
Научную биографию Ньютона можно разделить на три неравные части. В 1665-67 годах он вдохновенно трудился, угадывая основные законы природы и математики. Следующие 20 лет Ньютон посвятил строгому доказательству открытых им законов, расчету важнейших примеров (включая движение Луны и планет) и написанию своей главной книги: "Математические принципы философии природы". В последние 40 лет жизни Ньютон мало занимался наукой: он лишь публиковал ранее подготовленные им книги, временами отвлекаясь на решение особенно трудной и красивой задачи с помощью математического анализа.
Например, Ньютон решил задачу о брахистохроне - пути наибыстрейшего спуска тяжелой точки, скользящей по гладкой кривой. Оказалось, что такой кривой является циклоида. Доказательство этого факта потребовало работы с гладкими функциями, зависящими от бесконечного множества числовых переменных. Ньютон справился с этой задачей с помощью ряда смелых гипотез, которые позднее составили особый раздел математического анализа - вариационное исчисление.
Так Ньютон работал всю жизнь, создавая все новые разделы математики или физики для решения новых сложных проблем. Мы называем Ньютона гением за безупречный вкус и удачливость в этой работе. Каждая построенная им теория (будь то механика, оптика или вариационное исчисление) решала не только исходную задачу, но и множество других задач, о которых прежде никто не задумывался. Но подражать Ньютону в этой героической работе могли очень немногие современники - тем более, что по характеру он был одиночка и не стремился воспитывать учеников личным примером.
Поэтому в распространении методов матматического анализа среди математиков Европы главную роль сыграл не Ньютон, а его единомышленники: голландец Христиан Гюйгенс (он стал первым президентом Парижской Академии Наук) и немец Готфрид Лейбниц (он возглавил Академию наук в Берлине и составил проект Российской академии наук). Оба они уступали Ньютону в "пробивной силе" при решении труднейших задач; но они не уступали Ньютону в научной фантазии и превосходили его в мастерстве учителя и просветителя.
Например, Лейбниц научился основам математики и механики у Гюйгенса. Как только до него дошли слухи о замечательных открытиях Ньютона (который еще ничего не опубликовал в печати), Лейбниц сумел повторить эти открытия самостоятельно и раньше Ньютона опубликовал свои рассуждения в форме, удобной для большинства математиков. Именно Лейбниц ввел современные обозначения производной, дифференциала и интеграла. Он составил первую таблицу производных и интегралов от элементарных функций. Поэтому самые сильные математики следующего поколения - братья Бернулли и Лопиталь - изучали свою науку по статьям Лейбница, а не по книгам Ньютона. В итоге европейская математика 18 века оказалась исключительно "континентальной"; достойных наследников мысли Ньютона в Англии не нашлось.
Подобно Гюйгенсу и в отличие от Ньютона, Лейбниц был очень разносторонним ученым. Кроме "непрерывной" математики функций и производных, он очень интересовался "дискретной" математикой. Начав с изобретения удачного арифмометра, Лейбниц вскоре заметил особое удобство двоичной системы счисления для математических машин. Он также развил математическую логику, перейдя от словесных рассуждений (силлогизмов) Аристотеля к алгебраическому исчислению логических высказываний. Об этом еще в 14 веке мечтал Раймонд Луллий; развивая его идеи, Лейбниц задумался о полной формализации человеческого мышлениия, о создании "мыслящих машин". В этой надежде Лейбниц ошибся - но чтобы обнаружить его ошибку, математикам 20 века пришлось построить электронные компьютеры и сравнить их работу с деятельностью человеческого мозга.
Христиан Гюйгенс (1629-1695) был на полтора десятка лет старше Ньютона и Лейбница. Поэтому он не смог соперничать с молодыми коллегами, когда они начали изобретать математический анализ. Однако у Гюйгенса было замечательное чутье в области математической физики: им восхищался даже Ньютон, который никого другого не считал равным себе талантом. Поэтому в математической оптике Гюйгенс сумел превзойти и Ферма, и Ньютона.
Он предложил волновую теорию света, которая удачнее описывала природные явления (дифракцию и интерференцию), чем корпускулярная теория Ньютона. В рамках своей теории Гюйгенс выдвинул замечательный принцип: каждая точка, возбужденная проходящей волной, сама становится источником таких же волн. Этот принцип Гюйгенса и старый принцип Ферма (о движении света по траектории наименьшего времени) в 20 веке составили основу квантовой физики, слившись в единый принцип Фейнмана.
Но для построения полной математической теории света Гюйгенсу нехватило многих экспериментальных результатов и еще одной ветви математического анализа: теории функций комплексного переменного. Ее создал Леонард Эйлер - самый знаменитый математик 18 века.