Разные народы в своем развитии использовали различные системы счисления. Отголоски древних способов счета встречаются и в современном мире. Так, из древнего Вавилона сохранилось деление часа на 60 минут, минуты – на 60 секунд, а угла на 360°; из Древнего Рима – римская запись чисел (I, II, III, IV...); от англосаксов – счет дюжинами (в году – 12 месяцев, в футе – 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов).
В результате, самой удобной оказалась десятичная (десятеричная) система счисления, которая пришла из Индии. В ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), но информацию несет не только сама цифра, но также и позиция, в которой она стоит.
Основание системы счисления – количество различных символов или знаков, используемых для записи чисел (основание заложено в название системы счисления!).
Алфавит системы счисления – перечень символов, используемых для записи чисел.
Так, для десятичной системы это будут приведенные выше 10 цифр, а для двоичной – только две (0 и 1).
Алфавит составляется из арабских цифр, начиная с нуля. Если знаков не хватает (шестнадцатеричная система), то берутся латинские буквы (A–F...).
Наиболее важными являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Это связано с их использованием в математике и для компьютерного представления информации.
Двоичная система счисления в вычислительной технике используется в связи с тем, что электронные элементы – триггеры (переключатели), из которых состоят микросхемы, могут находиться только в двух рабочих состояниях (включено или выключено – ноль или единица).
Для освоения этой темы необходимо четкое понимание использования степеней чисел, которое в курсе математики к моменту уроков по системам счисления изучается недостаточно полно (только квадрат и куб).
Несмотря на то, что степень числа может принимать любое значение, нас будет интересовать только натуральные и нулевая степени на примере десятичной системы.
Все современные системы можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.
В непозиционных системах (например, римской) значение знаков зависит от порядка их записи. Так, если I стоит перед V (IV), то это означает 5–1 = 4, а если после (VI), то это означает 5+1 = 6.
В позиционной системе, основным примером которой является повсеместно используемая десятичная, значение цифры четко зависит от ее положения (разряда). Например, число 333 записывается тремя одинаковыми цифрами, но значение их различается по четким правилам: три сотни, три десятка и три единицы (333=300+30+3).
Важно подчеркнуть, что возможна другая форма записи такого разложения:
333 = 3•102 + 3•101 + 3•100.
Принято считать, что основание 10 возникло в соответствии с количеством пальцев у человека.
Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Остатки записываем. После завершения вычислений записываем значения остатков в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.
Разложим два числа: 21 и 64.
Делимое | Остаток | Смысл действия |
21 10 5 2 1 0 |
1 0 1 0 1 |
21/2 = 20/2 + 1 = 10 + 1 10/2 = 5 + 0 5/2 = 4/2 + 1 = 2 + 1 2/2 = 1 + 0 1/2 = 0 + 1 |
Делимое | Остаток | Смысл действия |
64 32 16 8 4 2 1 0 |
0 0 0 0 0 0 1 |
64/2 = 32 + 0 32/2 = 16 + 0 16/2 = 8 + 0 8/2 = 4 + 0 4/2 = 2 + 0 2/2 = 1 + 0 1/2 = 0 + 1 |
Запишем значения степеней числа 2:
Степень | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Результат | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
и разложим те же числа.
6410 = 1•64 + 0•32 +0•16 +0•8 +0•4 +0•2 + 0•1 = 10000002
2110 = 1•16 + 0•8 + 1•4 + 0•2 + 1•1 = 101012
Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно
Знать таблицу степеней данного числа.
Последовательно записать, сколько раз каждая степень вошла в сумму.
Помнить, что если из круглого двоичного числа вычесть 1, то получится число из одних единиц, но на разряд меньше.
В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать простым. Но в некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие.
Например, число 11110112 можно представить в виде 11111112–1002. Семь единиц дают 27–1 (127), а двоичная сотня – 22 (4). Итого 127–4 = 123. (Во много раз быстрее!)
Степени числа 2
Степень | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Результат | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 | 8192 | 16384 | 32768 | 65536 | 131072 | 262 144 | 524 288 | 1 048 576 |
Степень |
Результат | Двоичное |
Нолей |
Знаков |
Значения |
20 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0–1 |
21 | 2 | 10 | 1 | 2 | 0–3 |
22 | 4 | 100 | 2 | 3 | 0–7 |
23 | 8 | 1000 | 3 | 4 | 0–15 |
24 | 16 | 10000 | 4 | 5 | 0–31 |
25 | 32 | 100000 | 5 | 6 | 0–63 |
26 | 64 | 1000000 | 6 | 7 | 0–127 |
27 | 128 | 10000000 | 7 | 8 | 0–255 |
28 | 256 | 100000000 | 8 | 9 | 0–511 |
Степени числа 3
Степень | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
Результат | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 | 177 147 | 531 441 | 1 594 323 |
Степени числа 8
Степень | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Результат | 1 | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
Степени числа 16
Степень | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Результат | 1 | 16 | 256 | 4096 | 65 536 | 1 048 576 | 16 777 216 | 268 435 456 | 4 294 967 296 | 68 719 476 736 | 1 099 511 627 776 |
(Таблица дана не для решения заданий, а для упрощения понимания закономерностей прироста и сравнения чисел разных систем счисления.)
Основание | |||||
10 | 2 | 3 | 4 | 8 | 16 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 | 2 | 2 |
3 | 11 | 10 | 3 | 3 | 3 |
4 | 100 | 11 | 10 | 4 | 4 |
5 | 101 | 12 | 11 | 5 | 5 |
6 | 110 | 20 | 12 | 6 | 6 |
7 | 111 | 21 | 13 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 22 | 20 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 100 | 21 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 101 | 22 | 12 | A |
11 | 1011 | 102 | 23 | 13 | B |
12 | 1100 | 110 | 30 | 14 | C |
13 | 1101 | 111 | 31 | 15 | D |
14 | 1110 | 112 | 32 | 16 | E |
15 | 1111 | 120 | 33 | 17 | F |
16 | 10000 | 121 | 100 | 20 | 10 |
17 | 10001 | 122 | 101 | 21 | 11 |
18 | 10010 | 200 | 102 | 22 | 12 |
19 | 10011 | 201 | 103 | 23 | 13 |
20 | 10100 | 202 | 110 | 24 | 14 |