Методические материалы по информатике
Системы счисления

Разные народы в своем развитии использовали различные системы счисления. Отголоски древних способов счета встречаются и в современном мире. Так, из древнего Вавилона сохранилось деление часа на 60 минут, минуты – на 60 секунд, а угла на 360°; из Древнего Рима – римская запись чисел (I, II, III, IV...); от англосаксов – счет дюжинами (в году – 12 месяцев, в футе – 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов).

В результате, самой удобной оказалась десятичная (десятеричная) система счисления, которая пришла из Индии. В ней десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), но информацию несет не только сама цифра, но также и позиция, в которой она стоит.

Основание системы счисления – количество различных символов или знаков, используемых для записи чисел (основание заложено в название системы счисления!).

Алфавит системы счисления – перечень символов, используемых для записи чисел.
Так, для десятичной системы это будут приведенные выше 10 цифр, а для двоичной – только две (0 и 1).
Алфавит составляется из арабских цифр, начиная с нуля. Если знаков не хватает (шестнадцате­ричная система), то берутся латинские буквы (A–F...).

Наиболее важными являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Это связано с их использованием в математике и для компьютерного представления информации.

Двоичная система счисления в вычислительной технике используется в связи с тем, что электронные элементы – триггеры (переключатели), из которых состоят микросхемы, могут находиться только в двух рабочих состояниях (включено или выключено – ноль или единица).

Степени чисел в десятичной системе

Для освоения этой темы необходимо четкое понимание использования степеней чисел, которое в курсе математики к моменту уроков по системам счисления изучается недостаточно полно (только квадрат и куб).
Несмотря на то, что степень числа может принимать любое значение, нас будет интересовать только натуральные и нулевая степени на примере десятичной системы.

    Введем некоторые аксиомы.
  1. Любое число в нулевой степени равно единице a0 = 1.
  2. Любое число в первой степени равно самому себе a1 = a.
  3. an = [Степень].

Классификация систем счисления

Все современные системы можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.
В непозиционных системах (например, римской) значение знаков зависит от порядка их записи. Так, если I стоит перед V (IV), то это означает 5–1 = 4, а если после (VI), то это означает 5+1 = 6.

В позиционной системе, основным примером которой является повсеместно используемая десятичная, значение цифры четко зависит от ее положения (разряда). Например, число 333 записывается тремя одинаковыми цифрами, но значение их различается по четким правилам: три сотни, три десятка и три единицы (333=300+30+3).
Важно подчеркнуть, что возможна другая форма записи такого разложения:

333 = 3•102 + 3•101 + 3•100.

Принято считать, что основание 10 возникло в соответствии с количеством пальцев у человека.

Перевод чисел из десятичной системы

Остаток от деления

Последовательно делим число на основание до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Остатки записываем. После завершения вычислений записываем значения остатков в обратном порядке. Полученное число и будет ответом.

Разложим два числа: 21 и 64.

Делимое Остаток Смысл действия
21
10
5
2
1
0
1
0
1
0
1
 
21/2 = 20/2 + 1 = 10 + 1
10/2 = 5 + 0
5/2 = 4/2 + 1 = 2 + 1
2/2 = 1 + 0
1/2 = 0 + 1
 
2110 = 101012
Делимое Остаток Смысл действия
64
32
16
8
4
2
1
0
0
0
0
0
0
0
1

64/2 = 32 + 0
32/2 = 16 + 0
16/2 = 8 + 0
8/2 = 4 + 0
4/2 = 2 + 0
2/2 = 1 + 0
1/2 = 0 + 1

6410 = 10000002

Разложение

Любое число можно представить в виде суммы чисел.

Запишем значения степеней числа 2:

Степень 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Результат 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

и разложим те же числа.

6410 = 1•64 + 0•32 +0•16 +0•8 +0•4 +0•2 + 0•1 = 10000002

2110 = 1•16 + 0•8 + 1•4 + 0•2 + 1•1 = 101012

Таким образом становиться ясно, что для этих вычислений нужно

В связи с довольно большой трудоемкостью, данный метод едва ли можно назвать простым. Но в некоторых случаях, когда число очень мало отличается от степени основания, перевод может оказаться значительно более быстрым, чем другие.

Например, число 11110112 можно представить в виде 11111112–1002. Семь единиц дают 27–1 (127), а двоичная сотня – 22 (4). Итого 127–4 = 123. (Во много раз быстрее!)

Степени некоторых чисел

Степени числа 2

Степень 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Результат 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262 144 524 288 1 048 576

Степень
(n)

Результат Двоичное

Нолей
(n)

Знаков
(n+1)

Значения
20 1 1 0 1 0–1
21 2 10 1 2 0–3
22 4 100 2 3 0–7
23 8 1000 3 4 0–15
24 16 10000 4 5 0–31
25 32 100000 5 6 0–63
26 64 1000000 6 7 0–127
27 128 10000000 7 8 0–255
28 256 100000000 8 9 0–511

    Выводы (n– число знаков):
  1. 2n. Зная соответствующую таблицу степеней, задания можно выполнять во много раз быстрее и с меньшей вероятностью ошибиться.
  2. Двоичное число, состоящее из n единиц = 2n – 1.
  3. Чтобы найти число битов, требующихся для для описания некоторого количества значений, нужно взять ближайшую степень двойки, которая не меньше числа значений. Степень и будет искомым ответом, а также числом разрядов в двоичном числе.
  4. Каждая единица двоичного числа вносит в него вклад, равный 2 в степени своей позиции от правого края минус 1. Также это можно оценивать как 2 в степени количества остальных цифр (нулей) справа. Так, 10002 = 23 = 8 (три нуля).

Степени числа 3

Степень 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Результат 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049 177 147 531 441 1 594 323

Степени числа 8

Степень 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Результат 1 8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824

Степени числа 16

Степень 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Результат 1 16 256 4096 65 536 1 048 576 16 777 216 268 435 456 4 294 967 296 68 719 476 736 1 099 511 627 776

Значения некоторых чисел в различных системах счисления

(Таблица дана не для решения заданий, а для упрощения понимания закономерностей прироста и сравнения чисел разных систем счисления.)

Основание
10 2 3 4 8 16
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 10 2 2 2 2
3 11 10 3 3 3
4 100 11 10 4 4
5 101 12 11 5 5
6 110 20 12 6 6
7 111 21 13 7 7
8 1000 22 20 10 8
9 1001 100 21 11 9
10 1010 101 22 12 A
11 1011 102 23 13 B
12 1100 110 30 14 C
13 1101 111 31 15 D
14 1110 112 32 16 E
15 1111 120 33 17 F
16 10000 121 100 20 10
17 10001 122 101 21 11
18 10010 200 102 22 12
19 10011 201 103 23 13
20 10100 202 110 24 14