Задачи заочного 17 турнира Архимеда

Уважаемые учащиеся гимназии № 1549!

Оргкомитет Семнадцатого Турнира Архимеда совместно с редакцией газеты «Математи­ка» (еженедельное приложение к газете «Первое сентября») объявляет конкурс решения задач для учащихся 6–7 классов.

Победителей конкурса ждут призы редакции и Оргкомитета Турнира Архимеда. Реше­ния просим выслать до 30 марта 2008 г. (по почтовому штемпелю) по адресу: 121165, Москва, ул.Киевская, 24, ред. приложения «Математика», с пометкой на конверте «Турнир». В письмо следует вложить подписанную работу с указанием номера школы и класса, фамилией, именем и отчеством учителя математики, а также вложить конверт с маркой (и с обратным адресом) ­в нем будут высланы результаты проверки.

  1. Верно ли неравенство? Вася утверждает, что неравенство

    ,

    верно для любых значений букв. Прав ли он? Ответ обоснуйте. Известно, что разные буквы обо­значают разные цифры, а одинаковые буквы – одинаковые цифры.
  2. Карточки в конверте. Можно ли карточки с написанными на них натуральными числами 1, 2, ..., 25 разложить в конверты так, чтобы в каждом конверте наибольшее число было равно сумме всех остальных чисел?
  3. Хоровод цифр. Можно ли расставить на окружности цифры 0, 1, 2, ..., 9 так, чтобы сумма любых трех из них идущих подряд не превышала: а) 13; б) 15?
  4. Игра на большой доске. На доске 2008×2008 двое игроков по очереди красят клетки в черный цвет. Первый имеет право закрашивать по одной клетке, а второй – «уголок» из трех клеток. Каждую клетку можно закрашивать один раз. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
  5. Продолжение предыдущей задачи. Изменится ли ответ, если первый имеет право закра­шивать квадрат 2×2?
  6. «Ну, погоди!». Перед очередными съемками Волк и Заяц соревнуются в беге на 5,5 км. Известно, что Волк пробегает каждый участок дистанции длиной в 1 км за 8 мин, а Заяц – за 8 мин и 1 сек. Свидетели утверждают, Заяц оказался на финише раньше Волка. Могло ли так случиться?
  7. Разделите квадрат 13×13 на 5 прямоугольников так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.
  8. На некотором острове живут только рыцари и лжецы, причем рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Каждый житель острова утверждает:
    1. «Все мои знакомые знают друг друга»
    2. «Среди моих знакомых лжецов не меньше, чем рыцарей».
    Верно ли, что рыцарей на острове не меньше, чем лжецов?