Межрегиональная заочная математическая олимпиада
Страница олимпиады на сайте школы «Авангард». Внимание! Там дано прошлогоднее задание!
Текст задания приведен по статье Е.Филатова в газете «Математика» №19 за 2007 г.
Всероссийская школа математики и физика «Авангард» проводит Межрегиональную заочную математическую олимпиаду для школьников 6–10 классов. Срок проведения олимпиады: сентябрь–декабрь 2000 г. Основная цель проведения заочных олимпиад — ознакомление учащихся с задачами олимпиадного уровня и предоставление возможности сравнить свои успехи в изучении физматдисциплин с успехами своих ровесников.
Для участия в олимпиаде необходимо решить хотя бы одну задачу. Списки победителей будут опубликованы. Все участники олимпиады, приславшие свои решения в оргкомитет олимпиады, независимо от результатов их проверки, получат решения олимпиадных задач и информацию о заочном отделении Всероссийской школы математики и физики «Авангард».
Условия задач
6 класс
1) На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, они заняли отрезок длины l. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длины L. Во сколько раз L больше l?
2) Вот очень простая
Г + О = Л – О = В × О = Л – О = М – К = А.
Замените буквы цифрами так, чтобы получились верные равенства; при этом одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным — разные.
3) В классе учится менее 50 школьников. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 — четверки, 1/2 — тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?
4) На лугу растет трава. Пустили на луг 9 коров, они опустошили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили 8 коров, то они съели бы всю траву за 6 дней. Сколько коров могут кормится на лугу все время, пока растет трава?
5) На клетке e1 шахматной доски находится белый конь, а на клетке d8 — черный конь. Первый ход белый конь может сделать либо на d3, либо на f3, а черный конь — только на e6. Второй ход белого коня может быть сделан на любую доступную для него клетку. Какова вероятность того, что он окажется под боем черного коня?
Комментарий. Вероятность P(A) события A — того, что белый конь в итоге окажется под боем черного коня, равна
,
где nA — общее число возможных маршрутов белого коня за два хода, приводящих к событию A; N — число всех возможных маршрутов белого коня за два хода.
7 класс
1) Последовательностью цифр
14012006140120101201
зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте.
2) На покраску большого деревянного куба размером 2007×2007×2007 ушел 1 кг краски. Однако понадобились кубики поменьше, и большой куб распилили на кубики размером 1×1×1. Сколько необходимо еще краски для докраски маленьких кубиков?
3) Изобразите на координатной плоскости 0ху множество точек, координаты х и у которых удовлетворяют уравнению: 2х2 – 5xy + 2y2 = 0.
4) Существует ли треугольник, у которого все стороны 0,2007 мм, а радиус описанной окружности больше 2007 км?
5) Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках)?
Примечание. Расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами, считаются разными.
8 класс
1) Последовательностью цифр
14012006140120101201
зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте.
2) В треугольнике ABC выбрали точку P на стороне BC и провели через нее отрезки PQ и PR, параллельные сторонам AC и AB соответственно, до пересечения с этими сторонами. Известно, что площадь треугольника BQP равна S1, а треугольника CRP — S2. Найдите площадь треугольника ABC.
3) Решите уравнение (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24
4) Какое из двух чисел имеет больше делителей, включая как простые, так и составные:
20072007 или 2007! ?
Примечание. Для любого натурального числа n символ n! (n факториал) обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
5) Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках)?
Примечание. Расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами, считаются разными.
9 класс
1) Последовательностью цифр
14012006140120101201
зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте.
2) Решите уравнение 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0
3) Рассмотрим точку P внутри треугольника ABC и проведем через нее три отрезка, параллельных соответствующим сторонам треугольника. S1, S2, S3 — площади трех треугольников, возникающих при разбиении исходного треугольника этими отрезками. Найдите площадь треугольника ABC.
4) Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках)?
Примечание. Расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами, считаются разными.
5) Известно, что для некоторых чисел a, b и c
(9a + 3b + c)(4a + 2b + c) < 0
и
(16a – 4b + c)(9a – 3b + c) < 0.
Что можно сказать о знаке произведения
(4a – 2b + c)(a + b + c)?
10 класс
1) Решите уравнение sin2
+ sin2
+ sin2
= 0
2) Даны два вектора 
и 
, имеющие общее начало — точку A. Опишите множество D таких, что 
, где α и β — положительные числа.
3) Рассмотрим точку P внутри треугольника ABC и проведем через нее три отрезка, параллельных соответствующим сторонам треугольника. S1, S2, S3 — площади трех треугольников, возникающих при разбиении исходного треугольника этими отрезками. Найдите площадь треугольника ABC.
4) Найдите сумму
5) Известно, что для некоторых чисел a, b и c
(9a + 3b + c)(4a + 2b + c) < 0
и
(16a – 4b + c)(9a – 3b + c) < 0.
Что можно сказать о знаке произведения
(4a – 2b + c)(a + b + c)?
К сведению участников олимпиады
Оргкомитет оставляет за собой право не рассматривать работы, в которых не выполнены следующие требования.
1) Участником олимпиады считается школьник, приславший решение хотя бы одной задачи. К рассмотрению принимаются только индивидуально присланные работы.
2) Решения аккуратно оформляются на двойных тетрадных листах с отрезанными полями (около 2 см, для удобства пересылки в обычном почтовом конверте), сшитых книжечкой и пронумерованных.
3) На первом листе указывается ФИ учащегося, индекс и домашний адрес, номер школы, класс, ФИО учителя математики. Решение каждой следующей задачи начинается с новой страницы. Последовательность задач — в соответствии с их нумерацией в данной статье.
4) К решениям необходимо приложить два конверта с марками и надписанным домашним адресом участника и обратным адресом оргкомитета. В первом конверте участнику будет выслано сообщение о регистрации работы, во втором — результаты проверки и решения задач.
5) Работа должна быть выслана не позднее 31 декабря 2007 г. На конверте после адреса обязательно указывается предмет и класс (например: М10).
6) Адрес оргкомитета: 115446, Москва, а/я 450, оргкомитет М — номер класса.